ریاضیات

نظریهٔ گروه‌ها: زنجیرهٔ صعودیِ زیرگروه‌ها در یک مثال ماتریسی و نقض شرط بیشینه

در ادامهٔ مثالِ قبل، دو ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

x = [ [2, 0], [0, 1] ] ، y = [ [1, 1], [0, 1] ]

و گروه G را به صورت

G = 〈x, y〉

تعریف می‌کنیم. هدف این بخش، نشان دادنِ این نکته است که G با آنکه متناهی‌مولد است، شرط بیشینه روی زیرگروه‌ها را ارضا نمی‌کند.

۱) محاسبهٔ مزدوجِ y به‌وسیلهٔ xⁿ

برای هر n ≥ 0 داریم:

xⁿ = [ [2ⁿ, 0], [0, 1] ] ، x⁻ⁿ = [ [2⁻ⁿ, 0], [0, 1] ]

پس

x⁻ⁿ y xⁿ

= [ [2⁻ⁿ, 0], [0, 1] ] [ [1, 1], [0, 1] ] [ [2ⁿ, 0], [0, 1] ]

= [ [1, 2⁻ⁿ], [0, 1] ].

یعنی با مزدوج‌گیریِ y به‌وسیلهٔ xⁿ، ماتریسی از نوعِ بالامثلثیِ یکانی به دست می‌آید که درایهٔ بالاراستِ آن برابر 2⁻ⁿ است.

۲) ساختنِ یک زنجیرهٔ صعودی از زیرگروه‌ها

اکنون زیرگروه‌های زیر را در نظر بگیرید:

〈y〉 ⊆ 〈x⁻¹ y x〉 ⊆ 〈x⁻² y x²〉 ⊆ ⋯

زیرا

(x⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ y xⁿ⁺¹)² = [ [1, 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾], [0, 1] ]² = [ [1, 2⁻ⁿ], [0, 1] ] = x⁻ⁿ y xⁿ.

پس مولدِ مرحلهٔ nام، توانی از مولدِ مرحلهٔ بعدی است و در نتیجه

〈x⁻ⁿ y xⁿ〉 ⊆ 〈x⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ y xⁿ⁺¹〉.

۳) چرا این شمول‌ها strict هستند؟

داریم:

〈x⁻ⁿ y xⁿ〉

=

{ [ [1, m·2⁻ⁿ], [0, 1] ] | m ∈ Z }.

و نیز

〈x⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ y xⁿ⁺¹〉

=

{ [ [1, m·2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾], [0, 1] ] | m ∈ Z }.

واضح است که مجموعهٔ دوم بزرگ‌تر از مجموعهٔ اول است، چون مثلاً ماتریس

[ [1, 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾], [0, 1] ]

در زیرگروه دوم هست، اما در زیرگروه اول نیست؛ چون اگر در اولی بود، باید 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ = m·2⁻ⁿ برای یک m صحیح می‌بود، یعنی m = 1/2، که عدد صحیح نیست.

پس واقعاً داریم:

〈y〉 ⊊ 〈x⁻¹ y x〉 ⊊ 〈x⁻² y x²〉 ⊊ ⋯

۴) نتیجه

بنابراین در G یک زنجیرهٔ صعودیِ نامتناهی از زیرگروه‌ها وجود دارد که هرگز ثابت نمی‌شود. پس G شرط بیشینه روی زیرگروه‌ها را ندارد.

یعنی این گروه، با وجود آنکه فقط با دو مولد x و y ساخته شده است، نُترین نیست.

نکتهٔ مفهومی

این مثال روشن می‌کند که «متناهی‌مولد بودن» لزوماً به معنای داشتنِ شرط بیشینه روی زیرگروه‌ها نیست. به بیان دیگر، تعداد متناهیِ مولدها کنترل کاملی بر ساختار شبکهٔ همهٔ زیرگروه‌ها نمی‌دهد.