ریاضیات

نظریه گروه‌ها (۲۲): گروه‌های هافیان

یک گروه G را هافیان می‌نامیم اگر هر همریختیِ پوشا از G به خودش، لزوماً یک ایزومورفیزم باشد.

به زبان ساده‌تر: اگر f : G -> G پوشا باشد، آنگاه f باید یک‌به‌یک هم باشد.

این ویژگی نشان می‌دهد که گروه، در برابر «فشرده‌سازیِ ساختار» مقاومت می‌کند؛ یعنی نمی‌توان آن را به‌صورت درست و غیربدیهی روی خودش پوشا نگاشت، مگر این‌که هیچ اطلاعاتی از بین نرود.

برای مثال، گروه Z هافیان است. چون هر همریختی پوشای Z به Z فقط می‌تواند ضرب در 1 یا ضرب در -1 باشد، و هر دو ایزومورفیزم‌اند.

در مقابل، برخی گروه‌های نامتناهی این خاصیت را ندارند؛ مثلاً ممکن است یک گروه به یکی از خارج‌قسمت‌های درست خودش همریختی پوشا داشته باشد.

پس گروه هافیان، از دید ساختاری، گروهی «سخت» و پایدار است.