```html
نظریه گروه‌ها (۲۰): قضیه همریختی دوم و سوم (Isomorphism Theorems)
بعد از قضیه همریختی اول، معمولاً دو قضیه دیگر می‌آیند که ابزار اصلی کار با خارج‌قسمت‌ها و زیرگروه‌ها هستند:
قضیه همریختی دوم (Second Isomorphism Theorem) و قضیه همریختی سوم (Third Isomorphism Theorem).
این دو قضیه در عمل، محاسبه‌ی خارج‌قسمت‌ها را ساده می‌کنند و رابطه‌ی دقیقی بین «زیرگروه‌ها»، «حاصل‌ضرب زیرگروه‌ها»، و «زنجیره‌ی نرمال‌ها» برقرار می‌سازند.
۱) قضیه همریختی دوم
فرض کنید G یک گروه باشد، A ≤ G یک زیرگروه، و N ◁ G یک زیرگروه نرمال.
در این صورت زیرگروه AN (زیرگروه تولیدشده توسط A و N) را در نظر می‌گیریم:
AN = { an | a ∈ A, n ∈ N }
(از آنجا که N نرمال است، AN واقعاً یک زیرگروه از G می‌شود.)
صورت قضیه
اگر A ≤ G و N ◁ G، آنگاه:
AN / N ≅ A / (A ∩ N)
ایده‌ی اثبات (با همریختی طبیعی)
نگاشت زیر را تعریف می‌کنیم:
φ : A → AN/N , φ(a) = aN
هسته: φ(a)=N یعنی a ∈ N، پس Ker(φ)=A∩N.
تصویر: هر عنصر از AN/N به فرم (an)N = aN است، پس Im(φ)=AN/N.
حالا با قضیه همریختی اول نتیجه می‌گیریم:
A / (A ∩ N) ≅ AN / N
که همان نتیجه‌ی قضیه همریختی دوم است.
تفسیر مفهومی
این قضیه می‌گوید: «اگر بخواهیم A را در خارج‌قسمت G/N ببینیم، دقیقاً معادل است با این که در خود A، بخش مشترک با N را صفر کنیم.»
یعنی نقش N در A دقیقاً به شکل A∩N ظاهر می‌شود.
۲) قضیه همریختی سوم (یا قضیه خارج‌قسمتِ خارج‌قسمت)
حالا فرض کنید دو زیرگروه نرمال داریم که یکی داخل دیگری باشد:
N ◁ G , K ◁ G , N ⊆ K
در این حالت می‌توانیم ابتدا نسبت به N خارج‌قسمت بگیریم و سپس دوباره خارج‌قسمت بگیریم. قضیه سوم می‌گوید این کار معادل یک خارج‌قسمت‌گیریِ یک‌مرحله‌ای است.
صورت قضیه
اگر N ⊆ K و N ◁ G و K ◁ G، آنگاه:
(G/N) / (K/N) ≅ G/K
ایده‌ی اثبات (نگاشت طبیعی)
نگاشت طبیعی π: G → G/K را در نظر بگیرید. این نگاشت پوشا است و Ker(π)=K.
حالا چون N ⊆ K، نگاشت π روی کلاس‌های N ثابت می‌ماند و از G/N عبور می‌کند؛
یعنی یک همریختی القایی داریم:
ψ : G/N → G/K , ψ(gN) = gK
این نگاشت خوب تعریف شده است (چون اگر gN = g'N آنگاه g⁻¹g' ∈ N ⊆ K، پس gK = g'K).
هسته‌ی ψ دقیقاً K/N است و ψ پوشا است؛ پس با قضیه همریختی اول:
(G/N)/(K/N) ≅ G/K
که همان قضیه همریختی سوم است.
تفسیر مفهومی
این قضیه می‌گوید: «اگر بخواهیم G را تا سطح K کوچک کنیم، می‌توانیم ابتدا تا سطح N کوچک کنیم و سپس آنچه از K باقی مانده را حذف کنیم؛
نتیجه دقیقاً یکی است.»
۳) یک مثال سریع (برای جا افتادن)
در گروه (Z,+)، زیرگروه‌های نرمال همان زیرگروه‌های معمولی‌اند. فرض کنید:
G = Z , N = 12Z , K = 4Z
داریم N ⊆ K و هر دو نرمال‌اند. قضیه سوم می‌گوید:
(Z/12Z) / (4Z/12Z) ≅ Z/4Z
یعنی اگر ابتدا پیمانه ۱۲ برویم و سپس زیرگروه ۴Z/12Z را خارج‌قسمت بگیریم، دقیقاً پیمانه ۴ به دست می‌آید.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.