ریاضیات

وارون در کلاس‌های هم‌ارزی و هم‌ریختی با گروه بنیادی معمولی

پس از تعریف عمل ضرب روی کلاس‌های هم‌ارزی حلقه‌های ضلعی، باید نشان دهیم که هر کلاس دارای وارون است.

اگر

α

یک حلقهٔ ضلعی مبتنی بر رأس پایهٔ

a₀

باشد، وارون آن مسیر ضلعی را با

α^-1

نشان می‌دهیم؛ یعنی همان مسیر، اما با ترتیب پیمایش معکوس.

در این صورت، الحاق یک حلقه با وارونش، به وسیلهٔ حذف رفت‌وبرگشت‌های متوالی، به حلقهٔ ثابت در نقطهٔ پایه تقلیل می‌یابد.

بنابراین در سطح کلاس‌های هم‌ارزی داریم:

به همین ترتیب:

پس کلاس

[α^-1]

وارون کلاس

[α]

است، و در نتیجه مجموعهٔ کلاس‌های هم‌ارزی حلقه‌های ضلعی واقعاً یک گروه تشکیل می‌دهد.

قضیهٔ اصلی

اکنون به نتیجهٔ بنیادی این بحث می‌رسیم. اگر

K

یک کمپلکس سیمپلیسی باشد و

a₀

یک رأس از آن باشد، آنگاه گروه بنیادی ضلعی

π(K, a₀)

با گروه بنیادی معمولیِ نمایش هندسیِ آن، یعنی

π₁(|K|, a₀)

هم‌ریخت است:

تفسیر قضیه

این قضیه می‌گوید که اگر بخواهیم گروه بنیادیِ فضای هندسیِ

|K|

را محاسبه کنیم، لازم نیست همیشه مستقیماً با حلقه‌های پیوسته و هموتوپی‌های پیوسته کار کنیم.

بلکه می‌توانیم به جای آن، فقط با مسیرهای ضلعی و حلقه‌های ضلعی روی خود کمپلکس کار کنیم.

به بیان دیگر، ساختار توپولوژیکیِ گروه بنیادی را می‌توان به زبان کاملاً ترکیبیاتی و گسسته بازنویسی کرد.

این نکته از مهم‌ترین مزایای نظریهٔ سیمپلیسی است، زیرا محاسبهٔ گروه بنیادی را از یک مسئلهٔ پیوسته،

به یک مسئلهٔ جبری و ترکیبیاتی تبدیل می‌کند.

اهمیت این هم‌ریختی

اهمیت این نتیجه در آن است که بسیاری از فضاهای توپولوژیکی را می‌توان با کمپلکس‌های سیمپلیسی مدل‌سازی کرد.

در این صورت، به جای مطالعهٔ مستقیم فضای پیوسته، کافی است خواص مسیرهای ضلعی در کمپلکس را بررسی کنیم.

از این راه، محاسبهٔ گروه بنیادی به مطالعهٔ یال‌ها، رأس‌ها و روابط میان آن‌ها فروکاسته می‌شود.

بنابراین، گروه

π(K, a₀)

نه فقط یک مدل ساده‌شده، بلکه مدلی کاملاً معادل با گروه بنیادی معمولی است.

جمع‌بندی

پس از تعریف هم‌ارزی مسیرهای ضلعی، تشکیل کلاس‌های هم‌ارزی، تعریف عمل ضرب، و اثبات وجود عضو واحد و وارون،

به گروه بنیادی ضلعی می‌رسیم. سپس قضیهٔ اصلی بیان می‌کند که این گروه با گروه بنیادی معمولیِ فضای هندسی متناظر هم‌ریخت است.

از این‌رو، زبان مسیرهای ضلعی پلی دقیق میان توپولوژی جبری و ساختارهای ترکیبیاتی برقرار می‌کند و ابزار نیرومندی برای محاسبهٔ گروه بنیادی در اختیار ما می‌گذارد.