ریاضیات

جمع‌بندی

مثال شکل 8 یکی از شفاف‌ترین نمونه‌های کاربرد قضیهٔ ون‌کامپن است؛ زیرا در آن می‌توان به‌روشنی دید که چگونه ساختار هندسیِ فضا، مستقیماً به ساختار جبریِ گروه بنیادی تبدیل می‌شود.

این فضا از دو دایره تشکیل شده است که فقط در یک نقطه به یکدیگر می‌رسند، و همین ویژگی سبب می‌شود که دو دور اساسیِ مستقل در فضا وجود داشته باشد.

با انتخاب دو زیر‌فضای مناسب

U

و

V،

دیدیم که هر یک از آن‌ها از نظر هموتوپی معادل یک دایره‌اند، پس:

از سوی دیگر، اشتراک آن‌ها از نظر هموتوپی فقط یک نقطه است، بنابراین:

در نتیجه، قضیهٔ ون‌کامپن به ما می‌دهد:

این نتیجه نشان می‌دهد که گروه بنیادیِ شکل 8 نه یک ضرب مستقیم، بلکه یک حاصل‌ضرب آزاد است.

یعنی دو مولدِ اصلیِ فضا مستقل‌اند و هیچ رابطهٔ جابه‌جایی یا رابطهٔ غیر بدیهیِ دیگری میان آن‌ها برقرار نیست.

بنابراین، شکل 8 نمونه‌ای بسیار مناسب برای فهم ماهیت قضیهٔ ون‌کامپن است:

این قضیه نشان می‌دهد که چگونه می‌توان یک فضای پیچیده‌تر را به اجزای ساده‌تر شکست،

گروه‌های بنیادیِ اجزا و اشتراکشان را محاسبه کرد،

و سپس از طریق حاصل‌ضرب آزاد با آمیزش، گروه بنیادیِ کل فضا را به دست آورد.

به بیان نهایی، در مثال شکل 8، هندسهٔ فضا مستقیماً این پیام را به جبر منتقل می‌کند که:

فضا دارای دو حلقهٔ بنیادیِ مستقل است؛

و همین استقلال، در قالب ساختار

Z * Z

در گروه بنیادی ظاهر می‌شود.