۴) تفسیر جبری نتیجه
اکنون که با استفاده از قضیهٔ ون‌کامپن به این نتیجه رسیده‌ایم که
π1(X, x0) ≅ Z * Z
باید معنای جبری این نتیجه را روشن کنیم.
این فرمول فقط یک نماد فشرده نیست، بلکه توصیف دقیقی از ساختار درونیِ گروه بنیادیِ شکل 8 به دست می‌دهد.
هر یک از دو نسخهٔ
Z
متناظر با یکی از دو دایرهٔ اصلیِ فضاست.
اگر مولدِ دایرهٔ اول را با
a
و مولدِ دایرهٔ دوم را با
b
نشان دهیم، آنگاه گروه بنیادیِ
X
گروهی است که توسط این دو مولد ساخته می‌شود، بی‌آنکه رابطه‌ای میان آنها تحمیل شده باشد.
(الف) عناصر گروه چگونه ظاهر می‌شوند؟
در حاصل‌ضرب آزادِ
Z * Z،
عناصر گروه به صورت واژه‌هایی متناهی در
a،
b
و وارون‌های آنها نوشته می‌شوند.
بنابراین نمونه‌هایی از عناصر این گروه عبارت‌اند از:
a, b, a2, b-1, ab, ba, aba-1, b2a-3, ...
از دید توپولوژیکی، هر چنین واژه‌ای متناظر با یک حلقه در شکل 8 است که به‌ترتیب چند بار به دور دایرهٔ اول و دوم می‌گردد.
مثلاً واژهٔ
ab
یعنی ابتدا یک بار دور دایرهٔ اول می‌چرخیم و سپس یک بار دور دایرهٔ دوم؛
در حالی‌که
ba
یعنی همین عمل با ترتیب معکوس انجام می‌شود.
(ب) چرا این گروه آبلی نیست؟
نکتهٔ کلیدی این است که در
Z * Z
هیچ رابطه‌ای از نوع
ab = ba
وجود ندارد.
در نتیجه، ترتیب عبور از دو دایره اهمیت دارد.
به بیان دیگر، حلقه‌ای که ابتدا دور دایرهٔ اول و سپس دور دایرهٔ دوم می‌گردد، لزوماً با حلقه‌ای که همین کار را در ترتیب معکوس انجام می‌دهد، هموتوپ نیست.
بنابراین:
ab ≠ ba
و در نتیجه این گروه آبلی نیست.
این دقیقاً بازتاب جبریِ آن ویژگی هندسی است که دو حلقه فقط در یک نقطه به هم می‌رسند و هیچ سطح یا ناحیهٔ پیوسته‌ای وجود ندارد که بتوان ترتیب این دو چرخش را بی‌اثر کند.
(ج) تفاوت با ضرب مستقیم
یکی از خطاهای رایج این است که
Z * Z
با
Z × Z
اشتباه گرفته شود.
اما این دو ساختار کاملاً متفاوت‌اند.
در گروه
Z × Z،
دو مولد با هم جابه‌جا می‌شوند؛ یعنی:
(1,0) + (0,1) = (0,1) + (1,0)
یا در نگارش ضربی:
ab = ba
پس
Z × Z
یک گروه آبلی است.
اما در
Z * Z
هیچ‌گونه رابطهٔ جابه‌جایی وجود ندارد.
بنابراین:
Z * Z ≠ Z × Z
این تفاوت، تفاوتی صرفاً صوری نیست؛ بلکه نشان می‌دهد که هندسهٔ شکل 8 با هندسهٔ فضاهایی مانند تورس تفاوت بنیادین دارد.
در تورس، دو مسیر بنیادی از درون یک سطح مشترک عبور می‌کنند و همین ساختار هندسی به رابطهٔ جابه‌جایی منجر می‌شود؛
اما در شکل 8 چنین ناحیه‌ای وجود ندارد.
(د) تعبیر نهایی
بنابراین تفسیر جبریِ نتیجه این است که گروه بنیادیِ شکل 8، گروهی آزاد با دو مولد است.
این گروه تمام اطلاعات لازم را دربارهٔ نحوهٔ ترکیب حلقه‌های اساسی فضا در خود نگه می‌دارد:
هر حلقه به یک واژه در دو مولد تبدیل می‌شود، و تنها ساده‌سازی‌های مجاز، حذفِ زوج‌های
aa-1،
a-1a،
bb-1
و
b-1b
است.
پس ساختار
π1(X, x0) ≅ Z * Z
دقیقاً بازتابی جبری از این واقعیت هندسی است که فضا دارای دو دور بنیادیِ مستقل است و هیچ رابطهٔ اضافی میان آنها وجود ندارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.