۳) اعمال قضیهٔ ون‌کامپن
اکنون که اجزای فضا و ناحیهٔ اشتراک را به‌دقت بررسی کردیم، می‌توانیم قضیهٔ ون‌کامپن را مستقیماً بر فضای شکل 8 اعمال کنیم.
طبق این قضیه، اگر
X = U ∪ V
باشد و
U،
V
و
U ∩ V
همگی همبندِ مسیر باشند و نقطهٔ پایه
x0
در اشتراک قرار گیرد، آنگاه داریم:
π1(X, x0) ≅ π1(U, x0) *π1(U ∩ V, x0) π1(V, x0)
در مثال ما از مراحل قبل می‌دانیم که:
π1(U, x0) ≅ Z,
π1(V, x0) ≅ Z,
π1(U ∩ V, x0) ≅ {1}
بنابراین فرمول ون‌کامپن به صورت زیر در می‌آید:
π1(X, x0) ≅ Z *{1} Z
اما آمیزش بر روی گروهِ بدیهی، هیچ رابطهٔ اضافی ایجاد نمی‌کند.
یعنی وقتی گروهِ اشتراک فقط شامل عنصر همانی باشد، حاصل‌ضرب آزاد با آمیزش دقیقاً به حاصل‌ضرب آزاد معمولی فرو می‌کاهد.
پس داریم:
π1(X, x0) ≅ Z * Z
این همان نتیجهٔ نهایی مطلوب است.
یعنی گروه بنیادیِ شکل 8 برابر است با حاصل‌ضرب آزادِ دو نسخه از
Z.
تفسیر جبری نتیجه
اگر مولدِ
π1(U, x0)
را با
a
و مولدِ
π1(V, x0)
را با
b
نشان دهیم، آنگاه عناصر
π1(X, x0)
به صورت واژه‌هایی در
a
و
b
نوشته می‌شوند:
a, b, ab, ba, aba-1, b2a, ...
و چون هیچ رابطه‌ای مانند
ab = ba
تحمیل نشده است، این گروه آبلی نیست.
در نتیجه:
Z * Z ≠ Z × Z
این نکته باید با دقت حفظ شود: گروه بنیادیِ شکل 8 ضرب مستقیمِ دو عدد صحیح نیست، بلکه حاصل‌ضرب آزادِ آن‌هاست.
جمع‌بندی این مرحله
پس از شناخت دقیق دو جزء و اشتراک آنها، قضیهٔ ون‌کامپن بدون ابهام به ما می‌دهد که:
π1(X, x0) ≅ Z * Z
یعنی شکل 8 دارای دو دور بنیادیِ مستقل است و ساختار جبریِ گروه بنیادیِ آن، بازتاب مستقیم همین استقلال هندسی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.