ریاضیات

۳. روابط (Relations)

همان‌طور که در بخش‌های پیشین اشاره شد، این قسمت نقش «چسب» یا عامل یکپارچه‌سازی را در قضیه ون‌کامپن ایفا می‌کند. روابط نهایی از طریق گروه بنیادی اشتراک

π₁(U ∩ V)

به دست می‌آیند.

اگر نگاشت‌های شمول را به صورت

i: U → X

و

j: V → X

بنامیم، آنگاه نگاشت‌های القایی آن‌ها روی گروه‌های بنیادی باید در گروه نهایی یکسان شوند. بنابراین، برای هر

ω ∈ π₁(U ∩ V)

رابطه زیر برقرار است:

این روابط تضمین می‌کنند که مولدهای حاصل از

U

و

V

با یکدیگر سازگار باشند و در ساختار نهایی به‌درستی شناسایی شوند. به بیان دیگر، گروه بنیادی فضای کل فقط از روی مولدها تعیین نمی‌شود، بلکه باید آن‌ها را با روابط ناشی از اشتراک

U ∩ V

نیز مقید کرد.

از دیدگاه جبری، این فرایند به ساختار

amalgamated free product

یا همان حاصل‌ضرب آزاد با ادغام منتهی می‌شود و در زبان نظریه رده‌ها نیز به صورت

Pushout

بیان می‌گردد.