روابط و اشتراکات در قضیه ون‌کامپن
همان‌طور که اشاره شد، اجتماع تصاویرِ نگاشت‌های القایی، تنها گروه بنیادی را «تولید» می‌کنند. اما برای توصیف کامل π₁(X)، ما به «روابطی» نیاز داریم که مشخص کند کدام عناصر در این گروه با هم هم‌ارز هستند. این روابط برآمده از ماهیت توپولوژیکی اشتراک‌های دوگانه و سه‌گانه است.
معادلات هم‌ارزی (روابط)
برای هر عنصر ω در گروه بنیادیِ اشتراک دو مجموعه (مثلاً π₁(U ∩ V))، نگاشت‌های شمول باعث می‌شوند که این عنصر هم در π₁(U) و هم در π₁(V) دیده شود. در گروه بنیادی فضای کل (π₁(X))، این دو تصویر باید یکسان باشند. اگر j و k نگاشت‌های شمول باشند، رابطه زیر برقرار است:
ψᵤ(j(ω)) = ψᵥ(k(ω))
تعمیم به سه مجموعه (U, V, W)
وقتی سه مجموعه باز داریم، این روابط باید برای تمامی زوج‌های ممکن در اشتراک‌ها برقرار باشند. به عبارت دیگر، ما باید روابط زیر را به مجموعه روابط خود اضافه کنیم:
1. For ω ∈ π₁(U ∩ V): ψᵤ(jᵤᵥ(ω)) = ψᵥ(kᵤᵥ(ω))
2. For ω ∈ π₁(V ∩ W): ψᵥ(jᵥw(ω)) = ψw(kᵥw(ω))
3. For ω ∈ π₁(U ∩ W): ψᵤ(jᵤw(ω)) = ψw(kᵤw(ω))
این معادلات تضمین می‌کنند که تعریفِ مسیرها در فضای X، مستقل از انتخاب «مسیرِ عبوری» از طریق U، V یا W باشد. این همان جایی است که ساختار جبری «حاصل‌ضرب آزاد با ادغام» (Amalgamated Free Product) شکل می‌گیرد. در واقع، گروه بنیادی فضای X، خارج‌قسمتِ حاصل‌ضرب آزادِ این سه گروه بر زیرگروه نرمالی است که توسط این روابط تولید شده است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.