برای اثبات اینکه جنبره توپر (Solid Torus) یعنی حاصل‌ضرب دایره در دیسک دوبعدی، با دایره هم‌ارز هموتوپی (هم‌ارز هم‌جایی) است، می‌توانیم نشان دهیم که دایره یک «دفرمه‌بندی تغییر شکل» (Deformation Retract) از جنبره توپر است.
در ادامه، متن کامل و ساختاریافته‌ی این اثبات علمی را با فرمت درخواستی شما (چپ‌چین برای بخش‌های ریاضی بدون علامت دلار یا اسلش، راست‌چین برای توضیحات فارسی، و کاملاً مناسب برای سرویس بلاگفا) آماده کرده‌ام.
###
```html
هم‌ارزی هم‌جایی جنبره توپر و دایره
در توپولوژی جبری، یکی از مثال‌های شهودی و مهم برای هم‌ارزی هم‌جایی (Homotopy Equivalence)، بررسی رابطه بین جنبره توپر و دایره است. جنبره توپر را به صورت فضای حاصل‌ضرب زیر نمایش می‌دهیم:
X = S^1 x D^2
که در آن S^1 نشان‌دهنده دایره یکه و D^2 نشان‌دهنده دیسک بسته دوبعدی (شامل مرز و نقاط داخلی) است. ما می‌خواهیم نشان دهیم که فضای X با فضای زیر هم‌ارز هموتوپی است:
A = S^1 x {0}
که در آن {0} مرکز دیسک D^2 است. واضح است که فضای A با خود دایره S^1 هم‌دیس (Homeomorphic) است.
تعریف دفرمه‌بندی تغییر شکل
برای اثبات این هم‌ارزی، یک نگاشت هموتوپی (منقبض‌کننده) بین فضای کل و زیرفضای آن تعریف می‌کنیم. دیسک دوبعدی D^2 را می‌توان با انقباض شعاعی به مرکز آن یعنی نقطه 0 منقبض کرد. نگاشت هموتوپی را روی دیسک به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
H : D^2 x [0, 1] -> D^2
H(y, t) = (1 - t)y
که در آن y عضوی از دیسک D^2 و t پارامتر زمان بین 0 و 1 است. حال این هموتوپی را به کل فضای جنبره توپر تعمیم می‌دهیم:
F : (S^1 x D^2) x [0, 1] -> S^1 x D^2
F(x, y, t) = (x, (1 - t)y)
بررسی شرایط دفرمه‌بندی تغییر شکل
برای اینکه F یک دفرمه‌بندی تغییر شکل (Deformation Retraction) باشد، باید شرایط زیر برقرار باشند:
۱. در زمان آغازین (t = 0)، نگاشت باید همانی باشد:
F(x, y, 0) = (x, y)
۲. در زمان پایانی (t = 1)، تصویر نقاط باید درون زیرفضا قرار بگیرد (نگاشت رترکشن):
F(x, y, 1) = (x, 0)
۳. برای تمام نقاطی که از ابتدا درون زیرفضا قرار دارند (یعنی نقاطی با مؤلفه y = 0)، نگاشت در طول زمان بی‌تغییر بماند:
F(x, 0, t) = (x, 0)
نتیجه‌گیری
از برقرار بودن سه شرط فوق نتیجه می‌گیریم که دایره (S^1) یک دفرمه‌بندی تغییر شکل قوی (Strong Deformation Retract) از جنبره توپر (S^1 x D^2) است. طبق قضیه اثبات‌شده در تمرین ۷۵، هر دفرمه‌بندی تغییر شکل یک هم‌ارزی هم‌جایی است. بنابراین جنبره توپر و دایره هم‌ارز هم‌جایی (هموتوپی) هستند.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.