ریاضیات

دفرمه‌بندی تغییر شکل در توپولوژی جبری

در توپولوژی جبری، مفهوم دفرمه‌بندی تغییر شکل از رتریکت قوی‌تر است.

این مفهوم نشان می‌دهد که چگونه می‌توان یک فضا را به طور پیوسته روی یک زیرفضای خاص فشرده کرد، به طوری که خود آن زیرفضا ثابت بماند.

۱. تعریف

فرض کنید X یک فضای توپولوژیک و A زیرفضایی از X باشد.

نگاشت r از X به A را رتریکت می‌نامیم هرگاه برای هر a عضو A داشته باشیم: r(a) = a

زیرفضای A را دفرمه‌بندی تغییر شکل از X می‌نامیم هرگاه نگاشت پیوسته‌ای به نام F از X × I به X وجود داشته باشد به طوری که:

F(x, 0) = x برای هر x عضو X

F(x, 1) = r(x) برای هر x عضو X

F(a, t) = a برای هر a عضو A و هر t عضو I

۲. نکته مهم

هر دفرمه‌بندی تغییر شکل یک رتریکت است، اما هر رتریکت لزوماً دفرمه‌بندی تغییر شکل نیست.

علت این است که دفرمه‌بندی تغییر شکل نوع هم‌ارزی هموتوپی فضا را حفظ می‌کند.

۳. مثال

دایره S¹ را در نظر بگیرید و یک نقطه x₀ روی آن انتخاب کنید.

نگاشت ثابت r(x) = x₀ یک رتریکت از S¹ به مجموعه {x₀} است.

اما این نگاشت دفرمه‌بندی تغییر شکل نیست.

اگر چنین بود، آنگاه دایره با یک نقطه هم‌ارز هموتوپی می‌شد.

در حالی که گروه بنیادی آن‌ها متفاوت است:

pi₁(S¹) = Z

    و    

pi₁({x₀}) = 0

بنابراین دایره را نمی‌توان به یک نقطه دفرمه‌بندی تغییر شکل داد.