این موضوع یکی از جذاب‌ترین مباحث در توپولوژی جبری است، زیرا برخلاف مثال قبلی (بازپس‌روی روی یک ضلع)، **بازپس‌روی مربع واحد روی کل مرزش (هر چهار ضلع) غیرممکن است.**
در واقع، مربع واحد ($I^2$) با دیسک ($D^2$) و مرز آن ($\partial I^2$) با دایره ($S^1$) هم‌ارز (Homeomorphic) هستند. بنابراین، عدم وجود بازپس‌روی در اینجا، معادل با همان برهانی است که برای دیسک و دایره به کار می‌رود.
```html
مثال ۷: بررسی بازپس‌روی مربع واحد روی مرز آن (چهار ضلع)
در مثال قبلی دیدیم که مربع واحد را می‌توان به راحتی روی یکی از اضلاعش بازپس‌راند. اما سوال اینجاست: آیا نگاشت پیوسته‌ای وجود دارد که کل نقاط درون مربع را به مرز آن (چهار ضلع بیرونی) منتقل کند به طوری که نقاط روی مرز ثابت بمانند؟
۱. بیان مسئله به زبان ریاضی
فرض کنید X = I2 = [0, 1] × [0, 1] مربع واحد باشد و مرز آن به صورت زیر تعریف شود:
&partial;I2 = { (x, y) ∈ I2 | x ∈ {0,1} or y ∈ {0,1} }
ما به دنبال نگاشت پیوسته r: I2 → &partial;I2 هستیم که در آن برای هر a ∈ &partial;I2، داشته باشیم r(a) = a.
۲. اثبات عدم وجود (تضاد جبری)
برای اثبات غیرممکن بودن این نگاشت، از گروه بنیادی یا همولوژی مرتبه اول استفاده می‌کنیم:
- گروه بنیادی مربع: چون مربع یک فضای انقباض‌پذیر (بدون حفره) است، گروه بنیادی آن بدیهی است:
π1(I2) ≅ 0
- گروه بنیادی مرز: مرز مربع از نظر توپولوژیک با دایره یکسان است و دارای یک حفره بزرگ در وسط است:
π1(&partial;I2) ≅ ℤ
اگر نگاشت بازپس‌روی r وجود داشته باشد، باید هم‌ریختی القایی زیر برقرار باشد:
r* • i* = idπ1(&partial;I2)
با جایگذاری گروه‌ها خواهیم داشت:
ℤ → 0 → ℤ
این یعنی ترکیب یک نگاشت از ℤ به ۰ و سپس از ۰ به ℤ باید برابر با نگاشت همانی روی ℤ باشد. اما تنها نگاشت ممکن از طریق گروه صفر، نگاشت صفر است. از آنجا که نگاشت همانی روی ℤ مخالف صفر است (1 ≠ 0)، به یک تناقض می‌رسیم.
۳. شهود هندسی
از نظر هندسی، تلاش برای بازپس‌راندن مربع روی مرزش مانند این است که بخواهید یک پوسته لاستیکی مربعی را بدون پاره کردن، کاملاً به لبه‌هایش فشار دهید. این کار غیرممکن است مگر اینکه در وسط پوسته یک سوراخ ایجاد کنید. به عبارت دیگر، درون‌بری روی مرز مستلزم وجود حفره است، در حالی که مربع فاقد حفره می‌باشد.
نتیجه‌گیری: عدم وجود این بازپس‌روی، پایه و اساس اثبات قضیه نقطه ثابت براوئر در ابعاد ۲ است. این قضیه بیان می‌کند که هر نگاشت پیوسته از مربع به خودش، حداقل یک نقطه ثابت دارد.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.