ریاضیات

اگر `f = id_X` نگاشت همانی روی `X` باشد، آنگاه همریختی القایی آن روی گروه بنیادی، خودِ نگاشت همانی است.

---

# بیان دقیق

فرض کنید

`id_X : X -> X`

نگاشت همانی باشد؛ یعنی برای هر `x ∈ X` داریم:

`id_X(x) = x`.

در این صورت نگاشت القایی

`(id_X)_* : π_1(X,x) -> π_1(X,x)`

به صورت زیر تعریف می‌شود:

`(id_X)_*([φ]) = [id_X ∘ φ]`.

اما چون `id_X` همانی است، برای هر مسیر `φ : I -> X` داریم:

`id_X ∘ φ = φ`.

پس:

`(id_X)_*([φ]) = [φ]`.

بنابراین برای هر عضو `[\phi]` از `π_1(X,x)`:

`(id_X)_*([\phi]) = [\phi]`.

پس نتیجه می‌گیریم:

`(id_X)_* = id_{π_1(X,x)}`.

یعنی همریختی القاییِ نگاشت همانی، **خودِ نگاشت همانی روی گروه بنیادی** است.

---

# اثبات کوتاهِ جزوه‌ای

```text

اگر f = id_X باشد، آنگاه

f_* : π_1(X,x) -> π_1(X,x),

f_*([φ]) = [f∘φ] = [id_X∘φ].

ولی برای هر مسیر φ داریم:

id_X∘φ = φ.

پس

f_*([φ]) = [φ].

بنابراین f_* = id_{π_1(X,x)}.

```

---

# نتیجه‌ی مفهومی

این خاصیت بخشی از رفتار تابعی `π_1` است:

1. نگاشت همانی را به نگاشت همانی می‌فرستد:

`(\mathrm{id}_X)_* = \mathrm{id}_{\pi_1(X,x)}`

2. ترکیب را هم حفظ می‌کند:

`(g ∘ f)_* = g_* ∘ f_*`

---

اگر بخواهی، می‌توانم بعدی را هم بنویسم:

- **اگر `f` و `g` هموتوپ باشند، آنگاه `f_* = g_*`؟**

- یا **اثبات `(g∘f)_* = g_*∘f_*`** به همان سبک جزوه‌ای.