ریاضیات

منظور از **همریختی القایی روی مسیر معکوس** این بخش از اثبات است که نشان می‌دهد

`f_*([φ]^{-1}) = f_*([φ])^{-1}`.

یعنی اگر وارون یک کلاس مسیر را بگیریم، سپس تحت `f_*` ببریم، همان چیزی به دست می‌آید که اول تحت `f_*` ببریم و بعد وارون بگیریم.

---

# تعریف مسیر معکوس

اگر

`φ : I -> X`

یک حلقه در `x` باشد، مسیر معکوس آن را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

`bar(φ)(t) = φ(1-t)`.

این مسیر همان مسیر `φ` را در جهت برعکس طی می‌کند.

---

# باید چه چیزی را ثابت کنیم؟

می‌خواهیم نشان دهیم:

`f_*([bar(φ)]) = [f ∘ φ]^{-1}`

یا به عبارت دیگر:

`[f ∘ bar(φ)] = [bar(f ∘ φ)]`.

پس کافی است نشان دهیم:

`f ∘ bar(φ) = bar(f ∘ φ)`.

---

# محاسبه‌ی مستقیم

برای هر `t ∈ I` داریم:

`(f ∘ bar(φ))(t) = f(bar(φ)(t))`.

از تعریف مسیر معکوس:

`bar(φ)(t) = φ(1-t)`،

پس:

`(f ∘ bar(φ))(t) = f(φ(1-t))`.

از طرف دیگر، اگر اول `f ∘ φ` را در نظر بگیریم، معکوس آن برابر است با:

`bar(f ∘ φ)(t) = (f ∘ φ)(1-t)`.

ولی

`(f ∘ φ)(1-t) = f(φ(1-t))`.

پس:

`bar(f ∘ φ)(t) = f(φ(1-t))`.

بنابراین برای هر `t`:

`(f ∘ bar(φ))(t) = bar(f ∘ φ)(t)`.

در نتیجه:

`f ∘ bar(φ) = bar(f ∘ φ)`.

---

# نتیجه در گروه بنیادی

اکنون داریم:

`f_*([φ]^{-1}) = f_*([bar(φ)])`

`= [f ∘ bar(φ)]`

`= [bar(f ∘ φ)]`

`= [f ∘ φ]^{-1}`

`= f_*([φ])^{-1}`.

پس همریختی القایی، **وارون را حفظ می‌کند**.

---

# صورت خیلی خلاصه برای نوشتن در جزوه

```text

اگر bar(φ)(t)=φ(1-t)، آنگاه برای هر t∈I داریم:

(f∘bar(φ))(t)=f(bar(φ)(t))=f(φ(1-t))=(f∘φ)(1-t)=bar(f∘φ)(t).

پس

f∘bar(φ)=bar(f∘φ).

در نتیجه:

f_*([φ]^{-1})=f_*([bar(φ)])=[f∘bar(φ)]=[bar(f∘φ)]=[f∘φ]^{-1}=f_*([φ])^{-1}.

```

---

اگر بخواهی، می‌توانم همین بخ ش را هم **دقیقاً به سبک عکس و با نماد `\bar{f}` و `φ^{-1}`** بازنویسی کنم تا مستقیم در برگه‌ات بنویسی.