ریاضیات

یک سؤال اساسی در توپولوژی جبری این است که انتخاب نقطه پایه x₀ تا چه اندازه بر ساختار گروه π₁(X, x₀) تأثیر می‌گذارد. در این بخش ثابت می‌کنیم که در یک فضای مسیر-پیوسته، تغییر نقطه پایه منجر به پیدایش یک ایزومورفیسم بین گروه‌های بنیادی می‌گردد.

تعریف ۱: نگاشت تغییر پایه (β_h)

فرض کنید x₀ و x₁ دو نقطه در فضای X باشند و h مسیری از x₀ به x₁ باشد (h(0)=x₀ و h(1)=x₁). نگاشت تغییر پایه را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

قضیه:

نگاشت β_h یک ایزومورفیسم (هم‌ریختی دوسویی) است. بنابراین اگر فضای X مسیر-پیوسته باشد، گروه بنیادی در تمامی نقاط با یکدیگر هم‌ریخت هستند:

اثبات (خلاصه گام‌ها):

1. هم‌ریختی (Homomorphism): با استفاده از ویژگی شرکت‌پذیری ضرب مسیرها، می‌توان نشان داد که β_h([f * g]) = β_h([f]) * β_h([g]).
2. وارون‌پذیری: اگر مسیری مانند h̄ (معکوس h) را در نظر بگیریم، نگاشت β_h̄ وارون نگاشت قبلی خواهد بود. ترکیب این دو نگاشت منجر به همانی می‌گردد:

   
   (β_h ο β_h̄) [f] = [f]

نتیجه‌گیری:

به دلیل وجود این ایزومورفیسم، در فضاهای مسیر-پیوسته، غالباً از ذکر نقطه پایه صرف‌نظر کرده و صرفاً از نماد π₁(X) استفاده می‌کنیم؛ چرا که ساختار جبری گروه به انتخاب نقطه وابسته نیست.