بخش پانزدهم: جبرِ مسیرها (تعریف ضرب دو مسیر)
تا اینجا آموختیم که چگونه مسیرها را تغییر شکل دهیم. اما آیا می‌توانیم دو مسیر را به هم «بچسبانیم» تا یک مسیر طولانی‌تر بسازیم؟ در توپولوژی، این عمل را ضرب مسیرها می‌نامیم. این عمل، سنگ بنای تشکیل «گروه بنیادی» است.
۱. شرط اتصال: کجا می‌توانیم ضرب کنیم؟
ما نمی‌توانیم هر دو مسیری را به هم ضرب کنیم. برای اینکه دو مسیر f و g قابل ترکیب باشند، باید نقطه پایان مسیر اول با نقطه آغاز مسیر دوم یکی باشد:
f(1) = g(0)
۲. تعریف ریاضی ضرب (f * g)
اگر مسیر f از نقطه x به y برود و مسیر g از y به z، مسیر حاصل‌ضرب که آن را با h = f * g نشان می‌دهیم، مسیری است که از x به z می‌رود. تعریف آن به صورت زیر است:
(f * g)(s) =
{ f(2s) for 0 ≤ s ≤ 1/2
{ g(2s - 1) for 1/2 ≤ s ≤ 1
۳. چرا سرعت دو برابر می‌شود؟
دقت کنید که در فرمول بالا، پارامتر s در ضابطه اول به صورت 2s ظاهر شده است. این یعنی ما مسیر f را که قبلاً در ۱ ثانیه طی می‌کردیم، حالا باید در نیم ثانیه طی کنیم (با سرعت دو برابر). نیم ثانیه دوم را هم صرف طی کردن مسیر g می‌کنیم. در نهایت، کل سفر باز هم در ۱ ثانیه (بازه [0, 1]) تمام می‌شود.
۴. پیوستگی حاصل‌ضرب
چون f(1) = g(0)، در لحظه‌ی مرزی s = 1/2، هر دو ضابطه به یک نقطه واحد در فضا می‌رسند. طبق لم چسباندن، این مسیرِ مرکب حتماً پیوسته است.
نکته کلیدی: ضرب مسیرها «شرکت‌پذیر» (Associative) به معنای دقیق کلمه نیست، اما در دنیای کلاس‌های هم‌ارزی هموتوپی، همه‌چیز به زیبایی در جای خود قرار می‌گیرد. این همان جادوی توپولوژی جبری است: تبدیل اشکال به ساختارهای جبری.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.