ریاضیات

اثبات گام‌به‌گام رابطه هم‌ارزی هموتوپی — گام نخست: خاصیت بازتابی (Reflexivity)

برای اینکه نشان دهیم رابطه هموتوپی مسیرها با نقاط پایانی ثابت (Path Homotopy rel endpoints) یک رابطه هم‌ارزی است، باید سه خاصیت اصلی را به اثبات برسانیم:

1. خاصیت بازتابی (Reflexivity): هر مسیر با خودش هموتوپ است (f ∼ f).
2. خاصیت تقارنی (Symmetry): اگر f ∼ g، آن‌گاه g ∼ f.
3. خاصیت تعدی (Transitivity): اگر f ∼ g و g ∼ h، آن‌گاه f ∼ h.

۱. صورت مسئله و تعاریف اولیه

فرض کنید X یک فضای توپولوژیک و I = [0, 1] بازه یکانی باشد.

مسیر پیوسته f : I → X را با نقاط پایانی f(0) = x₀ و f(1) = x₁ در نظر می‌گیریم.

می‌خواهیم نگاشت پیوسته‌ای مانند F : I × I → X بسازیم که نشان دهد مسیر f با خودش هموتوپ است.

۲. تعریف نگاشت هموتوپی بازتابی

تابع F : I × I → X را برای هر (s, t) ∈ I × I به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

۳. بررسی شرایط چهارگانه هموتوپی

برای اینکه F یک هموتوپی معتبر بین f و خودش باشد، باید شرایط زیر برقرار باشد:

• شرط اول (مرز پایین t = 0):

  
  

  F(s, 0) = f(s)   ∀s ∈ I

• شرط دوم (مرز بالا t = 1):

  
  

  F(s, 1) = f(s)   ∀s ∈ I

• شرط سوم (ثابت بودن نقطه شروع s = 0):

  
  

  F(0, t) = f(0) = x₀   ∀t ∈ I

• شرط چهارم (ثابت بودن نقطه پایان s = 1):

  
  

  F(1, t) = f(1) = x₁   ∀t ∈ I

۴. اثبات پیوستگی نگاشت F

نگاشت F ترکیب دو نگاشت پیوسته است:

F = f ο π₁

که در آن π₁ : I × I → I نگاشت تصویر روی مؤلفه اول است (π₁(s, t) = s).

چون نگاشت تصویر π₁ پیوسته است و طبق فرض مسیر f نیز پیوسته می‌باشد، ترکیب دو نگاشت پیوسته یعنی F نیز کاملاً پیوسته خواهد بود.