بخش چهاردهم: کلاس‌های هم‌ارزی و زنجیره‌ی هموتوپی
در یادداشت‌های صفحه ۱۰۳ و ۱۰۴، به یک اصل حیاتی در ریاضیات پرداخته شده است: رابطه هم‌ارزی.
وقتی می‌گوییم دو مسیر هموتوپ هستند، یعنی آنها در یک «قبیله» یا «کلاس» قرار دارند. اما چطور ثابت می‌کنیم این پیوندها می‌توانند مثل یک زنجیره به هم متصل شوند؟
۱. اثبات تعدی (اگر A با B و B با C هم‌ارز باشد...)
فرض کنید مسیری به نام f داریم که به g تبدیل می‌شود (توسط هموتوپی F) و مسیر g هم به h تبدیل می‌شود (توسط هموتوپی F').
آیا می‌توانیم مستقیماً از f به h برسیم؟
۲. تعریف تابع مرکب H (پل میان مسیرها)
در یادداشت صفحه ۱۰۴، شما تابع H(s, t) را به صورت دو ضابطه‌ای تعریف کردید که نبوغ ریاضی این بخش است:
H(s, t) =
{ F(s, 2t) for 0 ≤ t ≤ 1/2
{ F'(s, 2t - 1) for 1/2 ≤ t ≤ 1
این فرمول یعنی در نیمه اول زمان، تغییر شکل اول را انجام می‌دهیم و در نیمه دوم، تغییر شکل دوم را. چون در لحظه t = 1/2 هر دو تابع به مسیر g(s) می‌رسند، این انتقال پیوسته است.
۳. تولد «کلاس‌های همجایی»
به دلیل وجود این ویژگی‌ها (بازتابی، متقارن و تعدی)، ما می‌توانیم تمام مسیرهایی را که به هم تبدیل می‌شوند در یک کیسه بریزیم و به آن بگوییم: کلاس هم‌ارزی هموتوپی.
نماد این کلاس را معمولاً با [f] نشان می‌دهیم.
درک شهودی: کلاس هم‌ارزی یعنی فرقی نمی‌کند شما دقیقاً از کدام مسیر بروید؛ تا زمانی که سوراخی در کار نباشد، تمام مسیرهای شما «یک معنا» دارند. این همان جایی است که ریاضیات از جزئیات عبور می‌کند تا به ماهیت فضا برسد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.