ریاضیات

بخش نهم: مقایسهٔ دایره، کره و دونات

تا اینجا سه فضای مهم را دیدیم:

دایره، کره و دونات.

این سه فضا از نظر ظاهر ممکن است ساده به نظر برسند،

اما از دید گروه بنیادی تفاوت‌های اساسی با هم دارند.

۱. دایره

دایره یک فضای یک‌بعدی است که حلقه‌ها می‌توانند دور آن بپیچند.

به همین دلیل، گروه بنیادی آن غیربدیهی است.

هر حلقه روی دایره را می‌توان با تعداد دورهایش توصیف کرد.

۲. کره

کرهٔ دو بعدی سطحی بسته و بدون سوراخ است.

هر حلقه‌ای روی آن را می‌توان بدون بریدن یا پاره‌کردن به یک نقطه فروکاست.

بنابراین کره از دید گروه بنیادی، یک فضای ساده محسوب می‌شود.

۳. دونات

دونات یا تورس سطحی است که یک سوراخ مرکزی دارد.

همین سوراخ باعث می‌شود دو نوع مسیر مستقل روی آن وجود داشته باشد.

بنابراین گروه بنیادی دونات از دو مولد مستقل تشکیل می‌شود.

۴. جدول مقایسه

۵. نتیجهٔ شهودی

اگر فقط ظاهر فضا را ببینیم، ممکن است تفاوت‌های مهم آن را از دست بدهیم.

اما گروه بنیادی به ما کمک می‌کند بفهمیم آیا فضا سوراخ دارد یا نه،

و این سوراخ‌ها چگونه مسیرهای بسته را تحت تأثیر قرار می‌دهند.