بخش سوم: گروه بنیادی و حلقه‌ها
یکی از مهم‌ترین ابزارهای توپولوژی جبری برای بررسی شکل فضاها،
گروه بنیادی است.
این گروه رفتار حلقه‌ها را در یک فضا ثبت می‌کند و به ما می‌گوید آیا فضا سوراخ دارد یا نه.
۱. حلقه چیست؟
فرض کنید در فضایی مثل X یک نقطهٔ پایه به نام
x0 انتخاب کرده‌ایم.
هر مسیر پیوسته‌ای که از این نقطه شروع شود و دوباره به همان نقطه برگردد،
یک حلقه یا loop نام دارد.
f : [0,1] → X
f(0) = f(1) = x0
بنابراین حلقه، مسیری است که از یک نقطه شروع می‌شود و به همان نقطه برمی‌گردد.
۲. هموتوپی حلقه‌ها
دو حلقه را هموتوپ می‌نامیم اگر بتوان یکی را به‌صورت پیوسته به دیگری تبدیل کرد،
در حالی که نقطهٔ پایه در تمام طول تغییر شکل ثابت بماند.
F : [0,1] × [0,1] → X
F(s,0) = f(s)
F(s,1) = g(s)
F(0,t) = F(1,t) = x0
یعنی حلقه‌ها را می‌توان بدون بریدن یا پاره‌کردن، به یکدیگر تغییر داد،
به شرط آنکه سرِ حلقه روی نقطهٔ پایه ثابت بماند.
۳. تعریف گروه بنیادی
مجموعهٔ همهٔ حلقه‌های هموتوپی از یک نقطهٔ پایه،
با یک عمل طبیعی به نام ترکیب حلقه‌ها یک گروه می‌سازد.
این گروه را با π1(X, x0) نشان می‌دهند
و آن را گروه بنیادی می‌نامند.
ایدهٔ اصلی این است که:
- اگر دو حلقه را پشت سر هم طی کنیم، یک حلقهٔ جدید می‌سازیم.
- حلقه‌ای که اصلاً دور نمی‌زند، نقش عضو همانی را دارد.
- هر حلقه یک معکوس دارد که آن را در جهت مخالف طی می‌کند.
۴. چرا گروه بنیادی مهم است؟
گروه بنیادی به ما می‌گوید آیا فضا سوراخ دارد یا نه.
اگر همهٔ حلقه‌ها بتوانند به‌راحتی به یک نقطه جمع شوند،
فضا از دید حلقه‌ها ساده است.
اما اگر بعضی حلقه‌ها نتوانند جمع شوند، یعنی فضا دارای مانع توپولوژیکی است.
برای مثال:
- صفحهٔ معمولی از نظر حلقه‌ها ساده است.
- دایره دارای حلقه‌های غیر بدیهی است.
- دونات به‌دلیل سوراخش، رفتار پیچیده‌تری دارد.
جمع‌بندی: گروه بنیادی یکی از مهم‌ترین ناورداهای توپولوژیکی است که نشان می‌دهد
یک فضا از نظر حلقه‌ها چقدر ساده یا پیچیده است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.