بخش دوم: انقباض‌پذیری و هموتوپی خط مستقیم
پس از آشنایی با هموتوپی مسیرها، حالا به یک مفهوم مهم‌تر می‌رسیم:
انقباض‌پذیری.
یک فضا را انقباض‌پذیر می‌نامیم اگر بتوان آن را به کمک یک هموتوپی پیوسته، به یک نقطه فروکاست.
۱. تعریف انقباض‌پذیری
فرض کنید X یک فضای توپولوژیک و x0 یک نقطه از آن باشد.
اگر نگاشت همانی روی X با نگاشت ثابت
c(x) = x0
هموتوپ باشد، می‌گوییم X انقباض‌پذیر است.
H : X × I → X
H(x, 0) = x
H(x, 1) = x0
یعنی در زمان صفر، هر نقطه همان جای خودش است،
و در زمان یک، همهٔ نقاط به یک نقطهٔ ثابت فرو می‌ریزند.
۲. هموتوپی خط مستقیم در فضای محدب
اگر فضا محدب باشد، انقباض‌پذیری آن با یک فرمول بسیار ساده نشان داده می‌شود.
برای هر نقطه x در فضا، می‌توان نوشت:
H(x, t) = (1 - t)x + t x0
این فرمول یعنی:
- در t = 0 داریم H(x,0) = x.
- در t = 1 داریم H(x,1) = x0.
- پس هر نقطه به‌صورت پیوسته به نقطهٔ ثابت نزدیک می‌شود.
۳. نمونهٔ مهم: دیسک و ناحیهٔ ستاره‌شکل
یکی از مهم‌ترین نمونه‌های فضاهای انقباض‌پذیر، دیسک پر است.
همچنین هر ناحیهٔ ستاره‌شکل نیز انقباض‌پذیر است؛ چون می‌توان همهٔ نقاط را به‌صورت خط مستقیم به یک مرکز خاص رساند.
در مختصات قطبی (r, θ)، اگر نقطه‌ای با شعاع r و زاویهٔ θ داشته باشیم، یک هموتوپی طبیعی برای جمع‌کردن آن به مرکز به شکل زیر است:
H((r, θ), t) = ((1 - t)r, θ)
در اینجا زاویه ثابت می‌ماند، اما شعاع به تدریج از r به صفر می‌رسد.
بنابراین کل ناحیه به مرکز خود منقبض می‌شود.
۴. مثال‌های روزمره
برای درک بهتر، این سه مثال را در نظر بگیر:
- توپ توپر: انقباض‌پذیر است.
- کرهٔ توخالی: انقباض‌پذیر نیست.
- دونات: به‌خاطر سوراخش انقباض‌پذیر نیست.
نکته: انقباض‌پذیری با «داشتن یک گروه بنیادی بدیهی» یکی نیست؛ بعضی فضاها گروه بنیادی ساده دارند ولی باز هم انقباض‌پذیر نیستند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.