بخش اول: هموتوپی مسیرها (Path Homotopy)
در توپولوژی، وقتی از «تغییر شکل پیوسته» صحبت می‌کنیم، منظورمان این است که یک شیء را بدون پاره کردن یا چسباندن، به شیء دیگری تبدیل کنیم. در مورد مسیرها، این موضوع کمی حساس‌تر است چون باید ابتدا و انتهای مسیر را ثابت نگه داریم.
۱. تعریف ریاضی
فرض کنید f و g دو مسیر پیوسته در فضای X باشند که هر دو از نقطه x0 شروع و به x1 ختم می‌شوند.
می‌گوییم f و g هموتوپ هستند اگر تابعی پیوسته مانند F وجود داشته باشد که:
F : [0,1] × [0,1] → X
۲. شروط چهارگانه (مرزهای تغییر شکل)
برای اینکه تابع F یک هموتوپی معتبر بین مسیرها باشد، باید چهار شرط زیر را در مربع دامنه (مربع I2) برآورده کند:
| F(s, 0) = f(s) | مسیر شروع (در لحظه صفر) همان f است. |
| F(s, 1) = g(s) | مسیر پایان (در لحظه یک) همان g است. |
| F(0, t) = x0 | نقطه شروع در تمام طول تغییر شکل ثابت است. |
| F(1, t) = x1 | نقطه پایان در تمام طول تغییر شکل ثابت است. |
۳. تصویر ذهنی
تصور کنید مسیر f یک کش پلاستیکی است که دو سر آن به دیوار میخ شده است. هموتوپی یعنی ما این کش را با دست جابه‌جا کنیم و به شکل مسیر g درآوریم، بدون اینکه کش را پاره کنیم یا میخ‌ها را از دیوار جدا کنیم.
نکته کلیدی: متغیر s نشان‌دهنده موقعیت ما روی خودِ مسیر (از ۰ تا ۱) و متغیر t نشان‌دهنده زمان تغییر شکل (از شروع تا پایان) است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.