ریاضیات

انقباض‌پذیری و هموتوپی در مختصات قطبی

در ادامه مباحث توپولوژی، به مفهوم انقباض‌پذیری (Contractibility) می‌رسیم. یک فضای توپولوژی E را انقباض‌پذیر به نقطه x₀ می‌نامیم، اگر نگاشت همانی روی آن به نگاشت ثابت c(x) = x₀ هموتوپ باشد.

۱. تعریف هموتوپی انقباضی

اگر f یک مسیر یا نگاشت در فضای E ⊂ R² باشد، انقباض آن به نقطه ثابت x₀ با تابع هموتوپی F تعریف می‌شود:

F : I × I → E

F(t, 0) = f(t)

F(t, 1) = x₀

۲. تحلیل در مختصات قطبی

برای فضاهایی که ساختار دایره‌ای یا ستاره‌شکل دارند، استفاده از مختصات قطبی (r, θ) بسیار کارآمد است. فرض کنید تابعی به صورت زیر داشته باشیم:

f(s) = (r(s), θ(s))

یک هموتوپی خط مستقیم که این مسیر را به مرکز (مبدا مختصات) منقبض می‌کند، به صورت زیر مدل می‌شود:

F(s, t) = ((1 - t) r(s), θ(s))

بررسی شرایط مرزی:

• در لحظه شروع (t = 0):

  F(s, 0) = (1 ċ r(s), θ(s)) = f(s) (خودِ مسیر اصلی).

• در لحظه پایان (t = 1):

  F(s, 1) = (0 ċ r(s), θ(s)) = (0, θ) (نقطه مبدا).

نتیجه: این فرمول نشان می‌دهد که چگونه شعاع تمام نقاط مسیر به تدریج به صفر میل می‌کند در حالی که زاویه آن‌ها حفظ می‌شود. این یعنی کل شکل بدون تغییر زاویه، به سمت مرکز "جمع" یا "منقبض" می‌شود.