ریاضیات

هموتوپی مسیرها

فرض کنید دو مسیر

f

و

g

در یک فضای توپولوژیک داشته باشیم، به طوری که ابتدا و انتهای آن‌ها یکی باشد:

f(0) = g(0) = x₀

f(1) = g(1) = x₁

در این حالت می‌گوییم اگر بتوانیم یکی از این مسیرها را به طور پیوسته به دیگری تبدیل کنیم،

آن‌ها هموتوپ هستند.

این تغییر شکل پیوسته با تابعی به نام F بیان می‌شود:

F : I × I → X

که در آن I = [0,1] و مربع

I² = I × I

دامنهٔ هموتوپی است.

شرط‌های اصلی هموتوپی مسیرها چنین هستند:

F(s,0) = f(s)

F(s,1) = g(s)

F(0,t) = x₀

F(1,t) = x₁

به زبان ساده، در طول این تغییر شکل:

• مسیر در ابتدا همان f است.
• در انتها به مسیر g تبدیل می‌شود.
• نقطهٔ شروع و پایان در تمام مراحل ثابت می‌مانند.

بنابراین، هموتوپی مسیرها یعنی:

«دو مسیر را می‌توان بدون شکستن و بدون جابه‌جا کردن سرهای مسیر،

به یکدیگر تبدیل کرد.»

این مفهوم یکی از پایه‌های مهم در توپولوژی جبری است و بعداً برای تعریف

گروه بنیادی و بررسی ویژگی‌های فضایی مثل وجود سوراخ‌ها به کار می‌رود.