ریاضیات

هموتوپی مسیرها و نقشِ مانع‌ها در تغییر شکل

در این شکل، ایدهٔ اصلی این است که دو مسیر یا دو حالتِ متفاوت را می‌توان به‌تدریج به یکدیگر تبدیل کرد، به شرطی که در طول این تغییر شکل، از ناحیهٔ مجاز خارج نشویم.

به چنین تغییر شکل پیوسته‌ای هموتوپی می‌گویند.

۱) ایدهٔ کلی شکل

اگر دو مسیر را در یک فضا در نظر بگیریم، ممکن است بخواهیم یکی را به دیگری «نرم و پیوسته» تبدیل کنیم.

این کار زمانی ممکن است که فضای ما مانع جدی نداشته باشد؛

اما اگر در فضا سوراخ یا مانع وجود داشته باشد، ممکن است این تغییر شکل ناممکن شود.

به زبان ساده:

• در یک فضای ساده و پر، مسیرها معمولاً قابلِ تغییر شکل هستند.
• در فضایی که سوراخ دارد، بعضی مسیرها دیگر به‌راحتی به هم تبدیل نمی‌شوند.

۲) چرا سوراخ مهم است؟

وجود سوراخ باعث می‌شود بعضی حلقه‌ها یا مسیرهای بسته نتوانند بدون پاره شدن یا خروج از فضا جمع شوند.

برای مثال، یک حلقهٔ کشی را دور یک جسم حلقه‌ای تصور کنید:

این حلقه را نمی‌توان بدون عبور از سوراخ، به یک نقطه جمع کرد.

اما اگر همان فضا پر باشد، مثل یک دیسک پر یا یک توپ توپر، حلقه به‌راحتی جمع می‌شود.

۳) ارتباط با هموتوپی مسیرها

فرض کنید دو مسیر f و g از یک نقطهٔ آغاز به یک نقطهٔ پایان می‌روند.

اگر بتوانیم تابعی مانند F(t, s) پیدا کنیم که:

F(t,0)=f(t)   و   F(t,1)=g(t)

و همچنین ابتدا و انتهای مسیر در تمام مراحل ثابت بماند، آن‌گاه می‌گوییم این دو مسیر هموتوپ هستند.

۴) برداشت آموزشی از شکل

این نوع شکل‌ها معمولاً برای نشان دادن این نکته به‌کار می‌روند که:

• بعضی مسیرها را می‌توان بدون شکستن یا خروج از فضا، به هم تبدیل کرد.
• بعضی مسیرها به‌خاطر وجود سوراخ یا مانع، به هموتوپیِ یکدیگر تبدیل نمی‌شوند.
• پس شکل ظاهری فضا در رفتار مسیرها و حلقه‌ها نقش اساسی دارد.

۵) نتیجهٔ مهم

از همین ایده، یکی از مهم‌ترین ابزارهای توپولوژی به‌دست می‌آید: گروه بنیادی.

این گروه به ما می‌گوید که آیا حلقه‌ها در یک فضا قابل جمع شدن هستند یا نه.

به همین دلیل، دو فضا که از نظر ظاهری متفاوت‌اند، ممکن است از نظر هموتوپی یا گروه بنیادی رفتار کاملاً متفاوتی داشته باشند.