مقایسهٔ سطح‌ها و احجام از نظر انقباض‌پذیری
در توپولوژی، بسیار مهم است که بدانیم دربارهٔ سطحِ یک جسم صحبت می‌کنیم
یا دربارهٔ خودِ حجمِ آن جسم.
گاهی یک جسمِ پر انقباض‌پذیر است،
اما سطحِ همان جسم انقباض‌پذیر نیست.
نکتهٔ مهم:
«پر بودن» و «توخالی بودن» در توپولوژی تفاوت بسیار بزرگی ایجاد می‌کند.
به همین دلیل، باید همیشه دقیق مشخص کنیم که منظورمان
خودِ جسم است یا فقط پوسته و مرز آن.
| جسم هندسی | فقط سطح | خودِ حجم |
|---|---|---|
| دایره / دیسک | دایره: انقباض‌پذیر نیست | دیسک: انقباض‌پذیر است |
| کره / گوی | سطح کره: انقباض‌پذیر نیست | گویِ پر: انقباض‌پذیر است |
| استوانه | سطح جانبیِ خالی: معمولاً انقباض‌پذیر نیست | استوانهٔ پر: انقباض‌پذیر است |
| دونات / تورس | سطح دونات: انقباض‌پذیر نیست | دوناتِ توپر: انقباض‌پذیر نیست |
مثال:
دایره به تنهایی فقط یک مرز بسته است و نمی‌توان آن را
درون خودش به یک نقطه جمع کرد.
اما اگر داخل آن را هم پر کنیم، به یک دیسک می‌رسیم
که انقباض‌پذیر است.
مثال:
سطح کره را نمی‌توان درون خودش به یک نقطه جمع کرد،
اما اگر کل گوی را در نظر بگیریم، همهٔ نقاط آن را می‌توان
به سوی مرکز حرکت داد و در یک نقطه جمع کرد.
نتیجه:
در بسیاری از موارد، مرزِ یک جسم انقباض‌پذیر نیست،
اما خودِ جسمِ پر انقباض‌پذیر است.
پس هنگام بررسی توپولوژیکی، باید دقیقاً معلوم کنیم
که با سطح سروکار داریم یا با حجم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.