انقباض‌پذیری شکل‌های هندسی
برای فهم بهترِ مفهوم فضای انقباض‌پذیر، خوب است چند شکل هندسی آشنا را بررسی کنیم.
در توپولوژی، سؤال اصلی این است:
آیا می‌توان یک شکل را بدون بریدن و بدون پاره کردن،
به طور پیوسته در یک نقطه جمع کرد یا نه؟
یادآوری:
اگر بتوان یک فضا را به صورت پیوسته به یک نقطه فشرده کرد،
آن فضا را انقباض‌پذیر می‌نامیم.
۱) شکل‌هایی که انقباض‌پذیرند
بعضی از شکل‌های هندسی هیچ سوراخی ندارند و از نظر توپولوژیکی ساده‌اند.
این شکل‌ها معمولاً انقباض‌پذیر هستند.
مثال‌ها:
پاره‌خط، مثلثِ پر، مربعِ پر، دایرهٔ پر (دیسک)، مکعبِ پر، و کرهٔ پر
همه انقباض‌پذیرند.
علت این است که در این شکل‌ها هیچ مانع توپولوژیکی وجود ندارد
و همهٔ نقاط را می‌توان کم‌کم به سمت یک نقطه حرکت داد.
مثلاً در یک دیسک، همهٔ نقاط را می‌توان به سوی مرکز برد
تا سرانجام کل شکل در یک نقطه جمع شود.
۲) شکل‌هایی که انقباض‌پذیر نیستند
اگر شکلی دارای سوراخ باشد، معمولاً دیگر نمی‌توان آن را
درون خودش به یک نقطه جمع کرد.
چنین شکلی انقباض‌پذیر نیست.
مثال‌ها:
دایره، حلقه، لاستیکِ حلقه‌ای، و سطح دونات
انقباض‌پذیر نیستند.
مثلاً دایره را نمی‌توان بدون شکستن به یک نقطه رساند،
زیرا یک حلقهٔ بسته است و یک نوع دور زدنِ غیرقابل حذف در آن وجود دارد.
همین موضوع در دونات هم دیده می‌شود،
با این تفاوت که دونات حتی از دایره هم پیچیده‌تر است.
۳) تفاوت «پر بودن» و «فقط مرز بودن»
نکتهٔ مهم:
در توپولوژی، خیلی مهم است که یک شکل را «پر» در نظر بگیریم
یا فقط «مرز» آن را.
برای مثال:
مقایسه:
دایرهٔ پر (دیسک) انقباض‌پذیر است،
اما خودِ دایره، یعنی فقط خط مرزی آن، انقباض‌پذیر نیست.
همین تفاوت برای کره نیز وجود دارد:
مثال:
کرهٔ پر انقباض‌پذیر است،
اما سطح کره به طور کلی انقباض‌پذیر نیست.
۴) یک جمع‌بندی شهودی
به طور شهودی، شکل‌هایی که
سوراخ ندارند و از درون ساده‌اند،
اغلب انقباض‌پذیرند.
اما شکل‌هایی که در آنها
حلقه، سوراخ، یا مانع توپولوژیکی وجود دارد،
معمولاً انقباض‌پذیر نیستند.
نتیجه:
انقباض‌پذیر بودن یعنی یک شکل از نظر توپولوژیکی
آن‌قدر ساده باشد که بتوان آن را به یک نقطه فروکاست.
پس این مفهوم یکی از مهم‌ترین نشانه‌های
سادگی یا پیچیدگیِ یک فضاست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.