فضای انقباضپذیر
یکی از مهمترین نوعهای فضا در توپولوژی، فضای انقباضپذیر است.
این فضاها از دیدگاه توپولوژیکی بسیار سادهاند،
زیرا میتوان کل فضا را به طور پیوسته در یک نقطه جمع کرد.
تعریف:
یک فضا را انقباضپذیر مینامیم
اگر بتوان نگاشت همانیِ آن فضا را به یک نگاشت ثابت هموتوپ کرد.
به زبان سادهتر، یعنی بتوان همهٔ نقاط فضا را
بدون بریدن و بدون پرش، کمکم به یک نقطه رساند.
درک شهودی این مفهوم چندان دشوار نیست.
فرض کنید یک تکه خمیر نرم یا یک قطعه لاستیک انعطافپذیر در اختیار دارید.
اگر بتوانید تمام آن را آرامآرام فشرده کنید
تا سرانجام به یک نقطه برسد، با یک فضای انقباضپذیر روبهرو هستید.
مثال:
یک دیسک، یک پارهخط، یا کل صفحه از نمونههای معروف فضاهای انقباضپذیر هستند.
در همهٔ این موارد، هیچ سوراخی وجود ندارد
که مانع جمع شدن کل فضا به یک نقطه شود.
نکته:
اگر فضایی انقباضپذیر باشد، آنگاه هر حلقه در آن
قابل جمع شدن به یک نقطه است.
پس گروه بنیادی چنین فضایی ساده است.
بنابراین، فضاهای انقباضپذیر از نظر گروه بنیادی پیچیدگی خاصی ندارند.
در این فضاها، حلقهها گیر نمیافتند،
چون مانع یا سوراخی وجود ندارد که آنها را از جمع شدن بازدارد.
به همین دلیل، این فضاها در توپولوژی
نمونههایی از فضاهای بسیار ساده به شمار میآیند.
مقایسه:
دایره انقباضپذیر نیست،
زیرا نمیتوان آن را درون خودش و با حفظ پیوستگی به یک نقطه جمع کرد.
علت اصلی این است که دایره یک نوع دور زدن غیرقابل حذف دارد.
اما دیسک انقباضپذیر است،
چون همهٔ نقاط آن را میتوان به سمت مرکز حرکت داد و در یک نقطه جمع کرد.
پس انقباضپذیر بودن، نشانهای بسیار قوی از سادگی توپولوژیکی یک فضاست.
هرگاه بتوان کل فضا را به یک نقطه فشرده کرد،
انتظار داریم بسیاری از ساختارهای پیچیدهٔ توپولوژیکی در آن از بین بروند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.