مثال دوم: دایره و تعداد دور زدن‌ها
دایره از ساده‌ترین فضاهایی است که در آن همهٔ حلقه‌ها قابل جمع شدن به یک نقطه نیستند.
همین موضوع باعث می‌شود دایره یکی از مهم‌ترین مثال‌ها برای فهم گروه بنیادی باشد.
اگر فضا فقط خودِ دایره باشد، هر حلقه باید روی همین دایره حرکت کند
و اجازه ندارد از آن بیرون برود.
در نتیجه، بعضی حلقه‌ها به گونه‌ای دور دایره می‌چرخند
که دیگر نمی‌توان آنها را به یک نقطه جمع کرد.
مثال:
یک حلقه ممکن است فقط در همان نقطهٔ پایه بماند و هیچ دوری نزند.
حلقه‌ای دیگر ممکن است یک بار کامل دور دایره بچرخد و به نقطهٔ شروع بازگردد.
حلقه‌ای دیگر ممکن است دو بار دور دایره بگردد.
حتی می‌توان در جهت مخالف نیز دور زد.
در اینجا تفاوت مهمی به وجود می‌آید:
حلقه‌ای که یک بار دور دایره می‌گردد،
با حلقه‌ای که اصلاً دوری نمی‌زند یکسان نیست.
همچنین حلقه‌ای که دو بار دور می‌زند،
با حلقه‌ای که یک بار دور می‌زند فرق دارد.
دلیل این تفاوت آن است که این حلقه‌ها باید روی خودِ دایره باقی بمانند
و راهی برای جمع شدن به یک نقطه ندارند.
نتیجهٔ اصلی:
در دایره، نوعِ حلقه به تعداد دور زدن آن بستگی دارد.
پس حلقه‌ها را می‌توان با اعداد صحیح توصیف کرد:
صفر دور، یک دور، دو دور، سه دور، و همچنین دور زدن در جهت مخالف.
تعبیر شهودی:
عدد مثبت یعنی دور زدن در یک جهت،
عدد منفی یعنی دور زدن در جهت مخالف،
و صفر یعنی حلقه‌ای که عملاً دوری نزده و می‌تواند به حالت ثابت فروبپاشد.
به این ترتیب، گروه بنیادی دایره با مجموعهٔ اعداد صحیح هماهنگ می‌شود.
این یعنی هر حلقه، با تعداد دورهایی که به دور دایره می‌زند شناخته می‌شود.
پس دایره بر خلاف صفحه و دیسک، فضایی است که در آن
حلقه‌های واقعاً متفاوت وجود دارند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.