حلقه چیست؟
برای ورود به مفهوم گروه بنیادی، اول باید با یکی از مهمترین نوعهای مسیر آشنا شویم:
حلقه.
حلقه در توپولوژی، نوع خاصی از مسیر است؛
مسیرِی که از یک نقطه شروع میشود و دوباره به همان نقطه بازمیگردد.
تعریف:
حلقه، یک مسیر پیوسته در فضاست که نقطهٔ شروع و پایان آن یکی باشد.
به بیان ساده، شما از یک نقطه حرکت میکنید، در فضا میچرخید،
و در نهایت دوباره به همان نقطهٔ اول برمیگردید.
پس هر حلقه یک مسیرِ بسته است.
در اینجا بسته بودن یعنی ابتدا و انتهای مسیر یکی باشند،
نه اینکه حتماً شکل آن شبیه دایره باشد.
ممکن است مسیر پیچخورده، کشیده، یا حتی گوشهدار به نظر برسد،
اما تا وقتی از یک نقطه شروع شود و به همان نقطه برگردد، یک حلقه است.
مثال:
فرض کنید در یک پارک از کنار یک درخت شروع میکنید،
کمی راه میروید، دور یک حوض میچرخید،
و دوباره به همان درخت برمیگردید.
این حرکت یک حلقه است.
مثال دیگر:
اگر از نقطهای حرکت کنید و به نقطهای متفاوت برسید،
دیگر حلقه نداریم؛ فقط یک مسیر معمولی ساختهاید.
پس تفاوت اصلیِ حلقه با مسیر عادی این است که حلقه به «خانهٔ اول» خود برمیگردد.
نکته:
در بحث گروه بنیادی، معمولاً یک نقطهٔ مشخص را به عنوان
نقطهٔ پایه
انتخاب میکنیم.
آنگاه فقط حلقههایی را بررسی میکنیم که از همان نقطه شروع شوند
و به همان نقطه نیز بازگردند.
اهمیت حلقهها در این است که آنها میتوانند وجودِ مانعها و سوراخهای فضا را آشکار کنند.
بعضی حلقهها خیلی سادهاند و میتوان آنها را کمکم جمع کرد تا به یک نقطه تبدیل شوند.
اما بعضی دیگر به دلیل وجود سوراخ یا مانع، چنین قابلیتی ندارند.
همین تفاوت، اساس شکلگیری گروه بنیادی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.