مفاهیم پایه در توپولوژی با مثال‌های ساده
در توپولوژی، بعضی واژه‌ها بسیار تکرار می‌شوند: مسیر، همبندی، مولفه، هموتوپی و مانند این‌ها.
اگر این واژه‌ها را فقط به صورت تعریف‌های رسمی ببینیم، ممکن است کمی انتزاعی و خشک به نظر برسند.
اما با مثال‌های ساده و روزمره، می‌توان فهمید که این مفاهیم در واقع دربارهٔ «شکل کلی فضا» و
«امکان حرکت و تغییر شکل پیوسته در آن» هستند.
۱. مسیر
تعریف:
مسیر یعنی یک حرکتِ پیوسته از یک نقطه به نقطهٔ دیگر در یک فضا.
در زبان ریاضی، مسیر یک نگاشت پیوسته از بازهٔ
[0,1]
به فضای مورد نظر است.
مثال:
فرض کنید در یک پارک از درِ ورودی تا یک نیمکت قدم می‌زنید.
اگر راه شما بدون پرش و گسستگی باشد، یک مسیر ساخته‌اید.
اما اگر ناگهان از یک نقطه ناپدید شوید و در نقطه‌ای دیگر ظاهر شوید، دیگر مسیرِ پیوسته نداریم.
۲. فضای همبند
تعریف:
یک فضا همبند است اگر «یک‌تکه» باشد و نتوان آن را به دو بخشِ جدا و ناتهی تقسیم کرد.
مثال:
یک تکه خمیر یا یک حلقهٔ کامل، همبند است.
اما اگر دو دایرهٔ جدا از هم روی کاغذ بکشیم، مجموعهٔ حاصل همبند نیست؛
چون از همان ابتدا از دو قسمتِ جدا تشکیل شده است.
۳. فضای همبند راهی
تعریف:
یک فضا همبندِ راهی است اگر بین هر دو نقطه از آن بتوان یک مسیرِ پیوسته پیدا کرد.
مثال:
روی سطح یک میز صاف، از هر نقطه به هر نقطهٔ دیگر می‌توان یک خط یا منحنی پیوسته کشید.
پس این فضا همبندِ راهی است.
نکته:
هر فضای همبندِ راهی، حتماً همبند است؛
اما هر فضای همبند، الزاماً همبندِ راهی نیست.
یعنی گاهی فضا از دور یک‌تکه به نظر می‌رسد، اما مسیرسازی در آن به آن سادگی نیست.
۴. مولفه
تعریف:
مولفه یعنی یکی از قطعه‌های اصلی و جداگانهٔ یک فضا که خودش همبند است.
مثال:
اگر یک فضا از دو دایرهٔ جدا تشکیل شده باشد،
هر دایره یک مولفه است.
همچنین در مجموعهٔ
[0,1] ∪ [2,3]
بازهٔ اول یک مولفه است و بازهٔ دوم هم یک مولفهٔ دیگر.
۵. موضعاً همبند
تعریف:
یک فضا موضعاً همبند است اگر در نزدیکی هر نقطه،
بتوان ناحیه‌ای کوچک پیدا کرد که خودش همبند باشد.
مثال:
صفحه، کره و بیشتر شکل‌های معمول هندسی موضعاً همبند هستند.
یعنی اگر دور هر نقطه را خیلی کوچک نگاه کنیم،
آن ناحیه هنوز یک‌تکه است و از هم نپاشیده است.
۶. موضعاً همبند راهی
تعریف:
یک فضا موضعاً همبندِ راهی است اگر در نزدیکی هر نقطه،
ناحیه‌ای کوچک پیدا شود که در آن بتوان بین هر دو نقطه مسیرِ پیوسته رسم کرد.
مثال:
روی سطح یک کره یا روی صفحه، اگر اطراف هر نقطه را در مقیاس کوچک نگاه کنیم،
باز هم می‌توان در همان ناحیه حرکت پیوسته انجام داد.
۷. دو مسیر هموتوپیک
تعریف:
دو مسیر با ابتدا و انتهای یکسان، هموتوپیک‌اند اگر بتوان یکی را به طور پیوسته به دیگری تبدیل کرد،
بدون آنکه نقطهٔ شروع و پایان تغییر کنند.
مثال:
در یک اتاق خالی، دو راه مختلف از در تا پنجره معمولاً هموتوپیک‌اند؛
چون می‌توان یکی را آرام‌آرام به دیگری تبدیل کرد.
اما اگر وسط اتاق یک ستون باشد، راهی که از راست ستون می‌رود
معمولاً با راهی که از چپ ستون می‌رود هموتوپیک نیست.
۸. مسیر پیوسته از نقطهٔ p به q
تعریف:
این فقط یک مسیر است که به طور مشخص از نقطهٔ
p
شروع می‌شود و به نقطهٔ
q
می‌رسد.
مثال:
در نقشهٔ یک شهر، اگر خیابانی پیوسته از میدان اول به میدان دوم وجود داشته باشد،
می‌گوییم یک مسیر پیوسته از
p
به
q
داریم.
۹. مسیر در یک زیرمجموعه
تعریف:
گاهی مسیر باید کاملاً درونِ یک بخش خاص از فضا بماند.
در این حالت می‌گوییم مسیر در یک زیرمجموعه تعریف شده است.
مثال:
فرض کنید در یک باغ فقط اجازه دارید روی پیاده‌رو حرکت کنید.
پس مسیر شما باید کاملاً روی پیاده‌رو بماند و وارد چمن نشود.
در ریاضی هم اگر مسیر روی یک دایره یا یک سطح خاص تعریف شده باشد،
نباید از آن بیرون برود.
۱۰. دو نگاشت پیوسته هموتوپیک
تعریف:
دو نگاشت پیوسته هموتوپیک‌اند اگر بتوان یکی را به طور پیوسته به دیگری تبدیل کرد.
این مفهوم شبیه هموتوپیِ مسیرهاست، اما به جای یک خط،
این بار با یک نگاشتِ کلی سروکار داریم.
مثال:
تصور کنید یک تکه لاستیک نرم را بدون بریدن و چسباندن تغییر شکل می‌دهید.
اگر شکل اول را بتوان آرام‌آرام به شکل دوم تبدیل کرد،
از دیدگاه هموتوپی این دو با هم مرتبط‌اند.
جمع‌بندی
- مسیر یعنی راهی پیوسته برای حرکت.
- همبندی یعنی یک‌تکه بودن فضا.
- همبندی راهی یعنی بتوان از هرجا به هرجا رفت.
- مولفه یعنی قطعه‌های جداگانهٔ اصلی فضا.
- هموتوپی مسیرها یعنی دو راه که در اصل از یک نوع‌اند.
- هموتوپی نگاشت‌ها یعنی دو تغییر شکلِ پیوسته که از نظر توپولوژیک معادل‌اند.
این مفاهیم پایه، دروازهٔ ورود به بحث‌های مهم‌تری مانند
«حلقه‌ها»، «کلاس‌های هموتوپی» و در نهایت «گروه بنیادی» هستند.
هرچه درکِ ما از این واژه‌ها روشن‌تر شود، فهمِ ساختارِ فضاها نیز آسان‌تر خواهد شد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.