ریاضیات

۱۰ نمونه برای درکِ هموتوپی مسیرها

در توپولوژی، هموتوپی یعنی «تغییر شکل بدون گسستگی». در اینجا ده سناریوی کلاسیک را بررسی می‌کنیم:

۱. مسیرِ ثابت (نقطه):

یک مسیر که در تمامِ طولِ زمان، روی یک نقطه باقی می‌ماند. این پایه و اساسِ تمامِ تعاریفِ «تهی‌هموتوپ» است.

۲. فضایِ اقلیدسی (محدب):

در هر فضایِ محدب (مثل یک صفحهٔ کاغذی ساده)، هر دو مسیر با نقاطِ ابتدا و انتهای یکسان، همواره هموتوپیک هستند.

۳. تغییر شکل به مسیرِ مستقیم:

هر مسیرِ منحنی‌شکل در یک فضایِ بدونِ سوراخ، می‌تواند به‌طور پیوسته به پاره‌خطِ مستقیم تبدیل شود.

۴. الحاقِ مسیرها (محصول):

اگر مسیرِ f را به مسیرِ g بچسبانیم، هموتوپیِ این ترکیب با ترکیبِ هموتوپی‌هایِ جداگانه، یکی است (خاصیتِ شرکت‌پذیری).

۵. مسیر و معکوس (خنثی‌سازی):

پیمودنِ یک مسیر و بازگشتِ کامل از همان مسیر، هموتوپیک با «مسیرِ ثابت» است (انگار که هیچ حرکتی نکرده‌ایم).

۶. فضایِ سوراخ‌دار (پلانِ پیچیده):

در صفحه‌ای که یک سوراخ دارد، مسیری که از سمتِ راستِ سوراخ می‌گذرد، با مسیری که از سمتِ چپ می‌گذرد، هموتوپیک نیست.

۷. حلقه روی استوانه (Winding):

حلقه‌ای که یک بار دورِ استوانه می‌پیچد، با حلقه‌ای که دو بار دور می‌زند هموتوپیک نیست؛ زیرا «تعدادِ دورها» (عددِ پیچش) مانع از تغییر شکل است.

۸. کره (Sphere):

در فضایِ کره، هر حلقه‌ای که رسم کنید، قابلِ جمع شدن به یک نقطه است. بنابراین تمامِ مسیرهای بسته در کره، هموتوپیک هستند.

۹. توروس (دونات):

در اینجا مسیرهایی وجود دارند که دورِ سوراخِ وسط یا دورِ بدنه می‌چرخند و هموتوپیک نیستند. این یعنی ساختارِ پیچیده‌ترِ هموتوپی.

۱۰. تغییر شکلِِ بازگشتی (Retraction):

گاهی فضایِ بزرگِ ما به یک زیرفضایِ کوچک‌تر (مثل یک خط یا دایره) «جمع» می‌شود. مسیرهایِ موجود در فضای بزرگ، با تصویرِ خود در فضای کوچک هموتوپیک‌اند.