مثال‌های پیشرفته: وقتی توپولوژی حرف‌های تازه می‌زند
تا اینجا هموتوپی را به عنوانِ «تغییر شکل» دیدیم. اما بیایید با این سه مثالِ کلاسیک، نگاهِ دقیق‌تری به رفتارِ فضاها داشته باشیم:
۱. مسیرهای رویِ دایره (Winding Number):
فرض کنید فضایِ ما یک دایره (مانندِ محیطِ یک سکه) است. دو مسیرِ بسته را در نظر بگیرید: مسیرِ A که یک‌بار دورِ دایره می‌چرخد و مسیرِ B که دو بار دورِ دایره می‌چرخد. آیا این دو هموتوپیک هستند؟ خیر!
از نظرِ ریاضی، ما نمی‌توانیم مسیرِ دو-دوری را به یک-دوری تبدیل کنیم، چون باید «تعدادِ دورها» را در حینِ هموتوپی تغییر دهیم که مستلزمِ پاره کردنِ مسیر است. اینجا «تعدادِ دورها» (که به آن عددِ پیچش می‌گویند)، یک شناسه برایِ کلاسِ هموتوپی است. این یعنی فضایِ دایره، مسیرهایِ «متنوعی» دارد که هرگز به هم تبدیل نمی‌شوند.
۲. کره (Sphere) و آزادیِ مطلق:
حالا فضایِ ما سطحِ یک توپ (کره) است. هر مسیرِ بسته‌ای که رویِ سطحِ این توپ رسم کنید، همیشه قابلِ «جمع شدن» به یک نقطه است. چرا؟ چون در سطحِ کره، هیچ «حفره‌ای» وجود ندارد که مسیر دورِ آن گیر کند.
به زبانِ هموتوپی: تمامِ مسیرهایِ بسته در کره با مسیرِ ثابت (نقطه) هموتوپیک هستند. برخلافِ صفحهٔ سوراخ‌دار که مسیرِ «دورِ سوراخ» هموتوپیک با نقطه نبود، در کره همه چیزِ «ساده» است (در اصطلاحِ فنی، گروهِ بنیادیِ کره «بدیهی» یا Trivial است).
۳. بازپارامتری‌سازی (سرعتِ حرکت):
هموتوپی فقط دربارهٔ شکلِ مسیر نیست، بلکه دربارهٔ «زمان» هم هست. فرض کنید مسیرِ f با سرعتِ ثابت طی می‌شود و مسیرِ g در ابتدا سریع و در انتها کند حرکت می‌کند. آیا این‌ها هموتوپیک هستند؟
H(s, t) = f( (1-t) * s + t * v(s) )
بله، این دو مسیر هموتوپیک هستند. ما می‌توانیم با یک نگاشتِ پیوسته، سرعتِ حرکت را تغییر دهیم بدون اینکه مسیرِ هندسیِ ما تغییر کند. این مثال به ما می‌گوید که هموتوپی نسبت به «سرعتِ پیمایش» کاملاً منعطف است و فقط «مسیرِ هندسی» برایش اهمیت دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.