همانریختی سادکی
همانریختی سادکی یا ایزومورفیسم سادکی مفهومی است که نشان میدهد
دو مجتمع سادکی از نظر ساختار ترکیبیاتی کاملاً یکسان هستند، حتی اگر نمایش هندسی
یا نامگذاری رأسهای آنها متفاوت باشد.
به بیان ساده، اگر بتوان رأسهای یک مجتمع سادکی را به رأسهای مجتمعی دیگر
بهگونهای متناظر کرد که سادکها دقیقاً حفظ شوند، آنگاه این دو مجتمع
همانریخت هستند.
۱. تعریف
فرض کنید
K
و
L
دو مجتمع سادکی مجرد باشند.
تابع
f : V(K) → V(L)
را یک همانریختی سادکی مینامیم هرگاه:
۱) تابع f یکبهیک و پوشا باشد.
۲) اگر
σ
یک سادک در
K
باشد، آنگاه
f(σ)
یک سادک در
L
باشد.
۳) تابع وارون
f-1
نیز همین خاصیت را داشته باشد.
در نتیجه، همانریختی سادکی یک تناظر دوسویه میان رأسهای دو مجتمع برقرار میکند
که ساختار سادکی را به طور کامل حفظ میکند.
۲. تصویر یک سادک
اگر
σ = {v0, v1, ..., vn}
یک سادک در
K
باشد، آنگاه تصویر آن تحت تابع
f
برابر است با:
f(σ) = {f(v0), f(v1), ..., f(vn)}
برای آنکه
f
یک همانریختی سادکی باشد، باید این مجموعه نیز یک سادک در
L
باشد، و این فرایند به صورت دقیق و برگشتپذیر انجام گیرد.
۳. تفسیر شهودی
همانریختی سادکی به شکل ظاهری هندسی توجه اصلی ندارد، بلکه به
الگوی اتصال رأسها اهمیت میدهد. یعنی مهم است که:
- چه رأسهایی در مجتمع وجود دارند
- کدام رأسها با هم یال میسازند
- کدام مجموعه از رأسها یک مثلث یا سادکهای بالاتر را تشکیل میدهند
اگر این الگوی ترکیبیاتی کاملاً حفظ شود، دو مجتمع سادکی همانریختاند،
حتی اگر یکی در صفحه و دیگری در فضای سهبعدی رسم شده باشد.
۴. مثال ساده
فرض کنید
K
مجتمعی با رأسهای
{a,b,c}
باشد و سادکهای آن عبارت باشند از:
{a}, {b}, {c},
{a,b}, {b,c}, {a,c},
{a,b,c}
همچنین فرض کنید
L
دارای رأسهای
{x,y,z}
و سادکهای زیر باشد:
{x}, {y}, {z},
{x,y}, {y,z}, {x,z},
{x,y,z}
اگر تابع
f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
را در نظر بگیریم، این تابع یک همانریختی سادکی است؛ زیرا همهی سادکهای
مجتمع اول را دقیقاً به سادکهای متناظر در مجتمع دوم میفرستد.
۵. تفاوت با نگاشت سادکی
میان نگاشت سادکی و همانریختی سادکی تفاوت مهمی وجود دارد:
نگاشت سادکی: کافی است سادکها را به سادکها بفرستد، اما لازم نیست
یکبهیک یا پوشا باشد.
همانریختی سادکی: باید وارونپذیر باشد؛ یعنی هم خود تابع و هم وارون آن
ساختار سادکی را حفظ کنند.
بنابراین هر همانریختی سادکی یک نگاشت سادکی است، اما هر نگاشت سادکی
لزوماً همانریختی سادکی نیست.
۶. اهمیت
همانریختی سادکی ابزاری برای تشخیص یکسان بودن ترکیبیاتی دو مجتمع است.
یعنی اگر دو مجتمع همانریخت باشند، از نظر ساختار سادکی تفاوتی اساسی با هم ندارند،
بلکه فقط ممکن است نامگذاری رأسها یا نحوهی نمایش هندسی آنها فرق کند.
این مفهوم در توپولوژی جبری، توپولوژی ترکیبیاتی و مطالعهی ساختارهای گسسته
اهمیت زیادی دارد.
در نتیجه، همانریختی سادکی تناظری دوسویه میان رأسهایچه دو مجتمع سادکی است
که تمام سادکها و روابط میان آنها را دقیقاً حفظ میکند. به همین دلیل،
دو مجتمع همانریخت از دیدگاه ترکیبیاتی یک ساختار واحد به شمار میآیند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.