مجتمع سادکی هندسی
در توپولوژی جبری و هندسه‌ی ترکیبیاتی، مجتمع سادکی هندسی
(Geometric Simplicial Complex) مجموعه‌ای از سادک‌های هندسی است
که به شیوه‌ای منظم در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند.
این ساختار یکی از ابزارهای اصلی برای مدل‌سازی فضاهای توپولوژیکی
به کمک اشیای ساده‌ای مانند نقطه، پاره‌خط، مثلث و چهاروجهی است.
۱. سادک هندسی
یک سادک هندسی پوش محدب تعدادی نقطه‌ی مستقل از نظر آفینی است.
اگر
v0, v1, ..., vn
نقاطی مستقل از نظر آفینی باشند، سادک متناظر با آنها را با
[v0, v1, ..., vn]
نشان می‌دهند.
به طور شهودی:
- ۰-سادک: یک نقطه
- ۱-سادک: یک پاره‌خط
- ۲-سادک: یک مثلث پر
- ۳-سادک: یک چهاروجهی پر
۲. تعریف مجتمع سادکی هندسی
یک مجتمع سادکی هندسی مجموعه‌ای K
از سادک‌های هندسی است به‌طوری‌که دو شرط زیر برقرار باشد:
۱) هر وجهِ هر سادکِ متعلق به K نیز در K باشد.
۲) اشتراک هر دو سادک از K یا تهی باشد یا یک وجه مشترک از هر دوی آنها.
شرط اول می‌گوید اگر یک مثلث در مجتمع باشد، آنگاه یال‌ها و رأس‌های آن نیز
باید در مجتمع حضور داشته باشند. شرط دوم نیز بیان می‌کند که سادک‌ها
فقط به‌صورت منظم و از طریق وجوه مشترک به هم متصل می‌شوند.
۳. تعریف نمادی
اگر K = {σi}
خانواده‌ای از سادک‌های هندسی باشد، آنگاه K یک مجتمع سادکی هندسی است هرگاه:
τ ≤ σ and σ ∈ K ⇒ τ ∈ K
σ, σ' ∈ K ⇒ σ ∩ σ' is empty or a common face
در اینجا
τ ≤ σ
یعنی τ یک وجه از
σ است.
۴. مثال ساده
سه نقطه‌ی
v0, v1, v2
را در صفحه در نظر بگیرید که روی یک خط نباشند.
سادک
[v0, v1, v2]
یک مثلث پر است.
اگر این مثلث را همراه با سه یال و سه رأس آن در نظر بگیریم،
مجموعه‌ی حاصل یک مجتمع سادکی هندسی ۲-بعدی خواهد بود.
[v0], [v1], [v2]
[v0,v1], [v1,v2], [v0,v2]
[v0,v1,v2]
اما اگر فقط خودِ مثلث پر را بگیریم و یال‌ها و رأس‌های آن را در مجموعه نیاوریم،
دیگر با یک مجتمع سادکی هندسی روبه‌رو نیستیم.
۵. بُعد مجتمع سادکی هندسی
بُعد یک مجتمع سادکی هندسی برابر است با بیشترین بُعد سادک‌های موجود در آن.
بنابراین:
- اگر بزرگ‌ترین سادک یک پاره‌خط باشد، مجتمع ۱-بعدی است.
- اگر بزرگ‌ترین سادک یک مثلث باشد، مجتمع ۲-بعدی است.
- اگر بزرگ‌ترین سادک یک چهاروجهی باشد، مجتمع ۳-بعدی است.
۶. فضا یا بستر مجتمع
اجتماع همه‌ی سادک‌های یک مجتمع سادکی هندسی را فضای زیرین
یا بستر هندسی آن می‌نامند و معمولاً با
|K|
نشان می‌دهند.
یعنی:
|K| = ∪ { σ : σ ∈ K }
این فضا همان شیء هندسی‌ای است که از چسباندن سادک‌ها در امتداد وجوه مشترکشان
به دست می‌آید.
۷. وجه و زیرمجتمع
اگر
τ
از رأس‌های
σ
ساخته شود و درون آن قرار داشته باشد، آنگاه
τ
را یک وجه از
σ می‌نامیم.
همچنین هر زیرمجموعه از سادک‌های یک مجتمع که خودش نیز دو شرط تعریف بالا را
داشته باشد، یک زیرمجتمع نامیده می‌شود.
۸. ارتباط با مجتمع سادکی مجرد
مجتمع سادکی هندسی با مجتمع سادکی مجرد ارتباط نزدیکی دارد.
در مجتمع مجرد، سادک‌ها فقط به صورت مجموعه‌هایی از رأس‌ها در نظر گرفته می‌شوند،
اما در مجتمع هندسی، همین داده‌ها به صورت شکل‌های واقعی در فضا نمایش داده می‌شوند.
به بیان دیگر، مجتمع سادکی مجرد توصیف ترکیبیاتیِ ساختار است،
و مجتمع سادکی هندسی تحقق یا نمایش فضاییِ آن ساختار را ارائه می‌دهد.
۹. اهمیت در توپولوژی جبری
مجتمع‌های سادکی هندسی در توپولوژی جبری اهمیت زیادی دارند، زیرا بسیاری از فضاها
را می‌توان به کمک آنها تقریب زد و سپس ویژگی‌هایی مانند همبندی، همولوژی
و دیگر ناورداهای توپولوژیکی را مطالعه کرد.
این مجتمع‌ها پلی میان هندسه، توپولوژی و ترکیبیات برقرار می‌کنند.
در نتیجه، مجتمع سادکی هندسی مجموعه‌ای منظم از سادک‌های هندسی است
که نسبت به وجوه بسته است و سادک‌های آن فقط از طریق وجوه مشترک به هم می‌پیوندند.
این ساختار یکی از بنیادی‌ترین ابزارها برای مطالعه‌ی فضاهای توپولوژیکی
با روش‌های ترکیبیاتی و هندسی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.