مجتمع سادکی مجرد
در توپولوژی جبری و هندسه‌ی ترکیبیاتی، مجتمع سادکی مجرد
(Abstract Simplicial Complex) مدلی کاملاً ترکیبیاتی برای توصیف
ساختار سادکی است. در این دیدگاه، به جای آنکه مستقیماً با شکل‌های
هندسی مانند مثلث و چهاروجهی کار کنیم، با مجموعه‌ها و
زیرمجموعه‌های آنها سروکار داریم.
این روش به ما اجازه می‌دهد که بسیاری از مفاهیم توپولوژیکی را
به زبان دقیق و ساده‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها بیان کنیم.
۱. تعریف
فرض کنید V
یک مجموعه باشد که اعضای آن را رأس می‌نامیم.
یک مجتمع سادکی مجرد روی V
خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های متناهی V است،
که آن را با K نشان می‌دهیم،
به‌طوری‌که شرط زیر برقرار باشد:
if σ ∈ K and τ ⊆ σ, then τ ∈ K
یعنی هرگاه σ
یک سادک از K باشد،
هر زیرمجموعه‌ی σ
نیز باید در K باشد.
به بیان دیگر، مجتمع سادکی مجرد نسبت به گرفتن زیرمجموعه بسته است.
۲. سادک‌ها در این تعریف
هر عضوِ مجموعه‌ی K
را یک سادک مجرد می‌نامیم.
اگر سادکی دقیقاً
n+1
رأس داشته باشد، آن را یک n-سادک می‌نامیم.
- سادکی با ۱ رأس: ۰-سادک
- سادکی با ۲ رأس: ۱-سادک
- سادکی با ۳ رأس: ۲-سادک
- سادکی با ۴ رأس: ۳-سادک
بنابراین بُعد یک سادک
σ
برابر است با:
dim(σ) = |σ| - 1
۳. مثال ساده
فرض کنید مجموعه‌ی رأس‌ها برابر باشد با:
V = {v0, v1, v2}
حال اگر تعریف کنیم:
K = {
{v0}, {v1}, {v2},
{v0,v1}, {v1,v2}, {v0,v2},
{v0,v1,v2}
}
آنگاه K
یک مجتمع سادکی مجرد است؛ زیرا هر زیرمجموعه‌ی هر عضو آن نیز دوباره در
K قرار دارد.
این مجتمع از دید هندسی متناظر با یک مثلث پر همراه با یال‌ها و رأس‌های آن است.
۴. مثالِ غیرمجاز
اگر بگیریم:
K = { {v0,v1,v2} }
این مجموعه یک مجتمع سادکی مجرد نیست، زیرا زیرمجموعه‌های
{v0,v1,v2}
مانند
{v0,v1}
یا
{v0}
در آن وجود ندارند.
۵. بُعد مجتمع سادکی مجرد
بُعد یک مجتمع سادکی مجرد برابر است با بیشترین بُعد سادک‌های آن.
یعنی:
dim(K) = max { dim(σ) : σ ∈ K }
برای مثال، اگر بزرگ‌ترین سادکِ موجود در
K
سه‌عضوی باشد، آنگاه بُعد مجتمع برابر با ۲ است.
۶. وجه و زیرسادک
اگر
τ ⊆ σ
باشد، می‌گوییم
τ
یک وجه از
σ است.
در نتیجه، همه‌ی اطلاعات مربوط به وجوه در همان ساختار مجموعه‌ای مجتمع ثبت شده‌اند.
همچنین هر زیرخانواده از سادک‌ها که خودش نسبت به گرفتن زیرمجموعه بسته باشد،
یک زیرمجتمع از مجتمع اصلی به شمار می‌آید.
۷. ارتباط با مجتمع سادکی هندسی
مجتمع سادکی مجرد یک تعریف صرفاً ترکیبیاتی است، اما می‌توان آن را
به یک مدل هندسی نیز نسبت داد. به این کار معمولاً تحقق هندسی
می‌گویند. در تحقق هندسی، هر سادک مجرد به یک سادک هندسی متناظر می‌شود
و سادک‌ها مطابق وجوه مشترکشان به یکدیگر چسبانده می‌شوند.
بنابراین، مجتمع سادکی مجرد ابزاری است برای آنکه ساختارهای هندسی
و توپولوژیکی را به زبان مجموعه‌ها و روابط شمولی مطالعه کنیم.
۸. اهمیت
اهمیت مجتمع‌های سادکی مجرد در این است که بسیاری از مفاهیم
توپولوژی جبری، مانند همولوژی، هموتوپی و ساختارهای ترکیبیاتی،
ابتدا روی این مدل‌های گسسته و دقیق تعریف یا محاسبه می‌شوند.
در نتیجه، مجتمع سادکی مجرد خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های متناهی
یک مجموعه‌ی رأس‌هاست که هرگاه سادکی در آن باشد، همه‌ی زیرمجموعه‌هایش
نیز در آن حضور دارند. این تعریف، شکل مجرد و ترکیبیاتیِ مفهوم
مجتمع سادکی را به دست می‌دهد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.