بررسی انتگرالهای بستهی میدان مغناطیسی
در الکترومغناطیس، برای میدان مغناطیسی B دو نوع انتگرال بسته مهم وجود دارد.
یکی انتگرال روی سطح بسته است و دیگری انتگرال روی مسیر بسته.
هر کدام با یک قضیهی معروف در ریاضیات و فیزیک ارتباط دارند.
1) انتگرال سطحی بسته و قضیهی دیورژانس
اگر بنویسیم:
∮ B . dA
این عبارت شار میدان مغناطیسی از یک سطح بسته را نشان میدهد.
طبق قضیهی دیورژانس داریم:
∮S B . dA = ∫V (∇ . B) dV
اما از معادلات ماکسول میدانیم:
∇ . B = 0
پس نتیجه میشود:
∮S B . dA = 0
یعنی شار خالص میدان مغناطیسی از هر سطح بسته برابر صفر است.
علت فیزیکی آن این است که تکقطبی مغناطیسی مشاهده نشده است و خطوط میدان مغناطیسی به صورت حلقههای بستهاند.
2) انتگرال خطی بسته و قضیهی استوکس
اگر به جای dA بنویسیم dl، آنگاه داریم:
∮ B . dl
این عبارت انتگرال خطی میدان مغناطیسی روی یک مسیر بسته است.
طبق قضیهی استوکس:
∮C B . dl = ∫S (∇ × B) . dA
اکنون از معادلهی آمپر-ماکسول استفاده میکنیم:
∇ × B = μ0 J + μ0ε0 (∂E / ∂t)
بنابراین فرم انتگرالی آن چنین میشود:
∮C B . dl = μ0 Ienclosed + μ0ε0 (dΦE / dt)
در حالت ساکن، یعنی وقتی میدان الکتریکی با زمان تغییر نکند، جملهی دوم صفر میشود و رابطه به صورت زیر در میآید:
∮C B . dl = μ0 Ienclosed
جمعبندی
اگر انتگرال روی سطح بسته باشد، با قضیهی دیورژانس سروکار داریم و برای میدان مغناطیسی نتیجه صفر است:
∮ B . dA = 0
اگر انتگرال روی مسیر بسته باشد، با قضیهی استوکس و قانون آمپر-ماکسول سروکار داریم:
∮ B . dl = μ0 Ienclosed + μ0ε0 (dΦE / dt)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.