قضایای بنیادی در نظریه سادک‌ها
قضیه ۱: یکتایی مختصات باری‌سنتریک
اگر مجموعه نقاط {v₀, v₁, ..., vₖ} در فضای ℝⁿ «مستقل افین» باشند، آنگاه هر نقطه x که در پوسته محدبِ (سادکِ) تولیدشده توسط این رئوس قرار دارد، به‌طور یکتا به صورت ترکیب افین زیر نوشته می‌شود:
x = Σ λᵢvᵢ, که در آن Σ λᵢ = 1 و λᵢ ≥ 0
این قضیه تضمین می‌کند که نگاشتِ بین نقاطِ داخل سادک و مختصاتِ باری‌سنتریکِ آنها، یک نگاشتِ دوسویی (Bijection) است.
قضیه ۲: شرط استقلال افین
مجموعه نقاط {v₀, v₁, ..., vₖ} مستقل افین هستند اگر و تنها اگر مجموعه‌ی بردارهای {v₁ - v₀, v₂ - v₀, ..., vₖ - v₀} نسبت به یکدیگر مستقل خطی باشند.
نتیجه: این قضیه شرط لازم و کافی برای تشکیل یک k-سادکِ غیرمنحط (Non-degenerate) را بیان می‌کند. اگر نقاط مستقل افین نباشند، سادکِ آنها در یک فضای با بعد کمتر "فروریخته" است.
قضیه ۳: اشتراک سادک‌ها در مجتمع
مطابق تعریف، اگر K یک مجتمع سادکی باشد، برای هر دو سادکِ σ₁ و σ₂ عضو K، اشتراک آنها یعنی (σ₁ ∩ σ₂) باید یک وجه مشترک از هر دو باشد.
σ₁, σ₂ ∈ K ⇒ (σ₁ ∩ σ₂) ∈ K یا (σ₁ ∩ σ₂) = ∅
این قضیه ساختارِ صلبِ مجتمع‌های سادکی را حفظ کرده و مانع از "تداخلات نامنظم" سادک‌ها می‌شود، که برای تعریفِ دقیقِ توپولوژی روی آنها حیاتی است.
قضیه ۴: نگهداری بعد زیرمجتمع
اگر L یک زیرمجتمعِ (Subcomplex) مجتمع K باشد، آنگاه همواره رابطه زیر برقرار است:
dim(L) ≤ dim(K)
این قضیه بیانگر آن است که یک زیرمجتمع نمی‌تواند ابعاد هندسیِ بزرگتری نسبت به مجتمعِ مادرِ خود داشته باشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.