ریاضیات

مجتمع‌های سادکی و تحقق هندسی

۱. مجتمع سادکی هندسی

یک مجتمع سادکی هندسی مجموعه‌ای از سادک‌ها در فضای اقلیدسی است که از دو شرط اساسی پیروی کند:

اگر σ ∈ K باشد، آنگاه هر وجهِ σ نیز در K قرار دارد. همچنین اگر σ₁ و σ₂ دو سادک از K باشند، آنگاه

σ₁ ∩ σ₂

یا تهی است یا دقیقاً یک وجهِ مشترک از هر دو سادک است.

۲. بعدِ مجتمع

بعدِ یک مجتمع سادکی K را با dim(K) نمایش می‌دهیم و آن را برابر با بیشترین بعدِ سادک‌های موجود در K می‌گیریم:

dim(K) = max { dim(σ) | σ ∈ K }.

بنابراین اگر بیشترین سادک‌های K از نوع k-سادک باشند، آنگاه dim(K) = k.

۳. زیرمجتمع سادکی

اگر L ⊆ K باشد و خودِ L نیز یک مجتمع سادکی باشد، آنگاه L را زیرمجتمع سادکی یا زیرمجتمع K می‌نامیم.

به زبان دیگر، زیرمجتمع باید نسبت به گرفتنِ وجه‌ها بسته باشد.

۴. تحقق هندسی

تحقق هندسی یا چندوجهیِ مجتمع K را با |K| نشان می‌دهیم و آن را اجتماعِ تمام سادک‌های عضو K می‌گیریم:

|K| = ⋃ { σ | σ ∈ K }.

فضای |K| با توپولوژی زیر‌فضای اقلیدسی در نظر گرفته می‌شود و از این رو یک فضای توپولوژیکِ طبیعی به دست می‌دهد.

۵. مثال

فرض کنید K شامل رئوس v₀, v₁, v₂، یال‌های

[v₀,v₁]، [v₁,v₂]، [v₀,v₂]

و نیز وجهِ

[v₀,v₁,v₂]

باشد. در این صورت K یک مجتمع سادکیِ ۲بعدی است و داریم:

dim(K) = 2.

اگر فقط رئوس و یال‌ها را در نظر بگیریم و وجهِ داخلی را حذف کنیم، مجموعه‌ای به دست می‌آید که یک زیرمجتمع ۱بعدی از K است؛ این زیرمجتمع همان مرزِ مثلث است.

۶. زوج سادکی

یک زوج سادکی به صورت (K, L) نوشته می‌شود که در آن K یک مجتمع سادکی و L ⊆ K یک زیرمجتمع است.

این ساختار برای مطالعهٔ توپولوژی نسبی و همولوژی نسبی بسیار مهم است.

۷. تعبیر چندوجهی

مجموعهٔ |K| را از آن جهت چندوجهی می‌نامند که از به‌هم‌پیوستنِ تعداد متناهی یا شمارایى از وجه‌ها، یال‌ها و رئوس ساخته شده است.

در واقع، یک چندوجهی از دید توپولوژیک همان شکلِ هندسیِ مجتمع سادکی است.