تعاریف تکمیلی دیگر در نظریهٔ سادک‌ها
پس از تعریف سادک، وجه، و مجتمع سادکی، چند اصطلاح مهم دیگر باقی می‌ماند که برای بیان دقیق
ساختار یک مثلث‌بندی و روابط میان سادک‌ها به کار می‌روند. این تعاریف در توپولوژی ترکیبی
و مطالعهٔ سطوح نقش اساسی دارند.
۱. رأس (Vertex)
هر نقطه‌ای که در ساخت یک سادک به‌عنوان مولّد به کار می‌رود، یک رأس نام دارد.
اگر
\sigma = [v_0,\dots,v_k]
باشد، آنگاه مجموعهٔ رأس‌های آن همان
\{v_0,\dots,v_k\}
است.
در یک مجتمع سادکی، تمام سادک‌ها از همین رأس‌ها ساخته می‌شوند؛ بنابراین رأس‌ها بنیادی‌ترین
دادهٔ ترکیبیِ مجتمع هستند.
۲. وجهِ proper
اگر \tau وجهی از سادک
\sigma باشد و
\tau \ne \sigma،
آنگاه \tau را یک وجهِ proper می‌نامند.
\tau < \sigma
مثلاً در یک مثلث، سه ضلع و سه رأس، همگی وجوه proper هستند؛ اما خود مثلث وجه proper خودش نیست.
۳. بعدِ یک مجتمع سادکی
بعد یک مجتمع سادکی برابر است با بیشترین بعدِ سادک‌های آن. اگر بزرگ‌ترین سادک‌های
موجود در مجتمع دو‌بعدی باشند، آن مجتمع را دو‌بعدی می‌نامیم.
dim(K) = \max \{ dim(\sigma) \;|\; \sigma \in K \}
این تعریف مهم است، چون مثلاً در مثلث‌بندی یک سطح، مجتمع سادکی معمولاً یک مجتمعِ دو‌بعدی است.
۴. سادکِ نابهنجار (Degenerate Simplex)
اگر نقاط مولّد یک سادک مستقل افین نباشند، شکل حاصل دیگر یک سادک واقعی نیست و آن را
نابهنجار یا degenerate می‌نامند.
برای مثال، اگر سه نقطه روی یک خط قرار گرفته باشند، از نظر هندسی یک مثلث حقیقی نمی‌سازند،
زیرا مساحت آن صفر است. شرط استقلال افین دقیقاً برای حذف چنین حالت‌هایی وضع می‌شود.
۵. سادک‌های بیشینه (Maximal Simplexes)
یک سادک در مجتمع K را بیشینه می‌گوییم اگر وجه proper
هیچ سادک بزرگ‌تری در K نباشد.
به زبان ساده، این‌ها بزرگ‌ترین قطعاتی هستند که مجتمع از آنها ساخته شده است.
در یک مثلث‌بندی از سطح، معمولاً مثلث‌های نهایی همان سادک‌های بیشینه‌اند.
۶. همسایگی (Adjacency)
دو سادک را مجاور یا همسایه می‌نامند اگر در یک وجه مشترک به هم برسند.
مثلاً دو مثلث وقتی مجاورند که یک یال مشترک داشته باشند.
این مفهوم در بررسی ساختار موضعی سطح بسیار مهم است، زیرا نشان می‌دهد قطعات مثلث‌بندی‌شده
چگونه به یکدیگر چسبیده‌اند.
۷. زیرتقسیم (Subdivision)
زیرتقسیم یک مجتمع سادکی، مجتمع جدیدی است که همان تحقق هندسی را حفظ می‌کند،
اما سادک‌ها را به قطعات کوچک‌تر تقسیم می‌کند.
|K'| = |K|
در اینجا K' یک زیرتقسیم از
K است. این فرآیند برای ریزتر کردن مثلث‌بندی و آماده‌سازی
محاسبات توپولوژیکی بسیار مهم است.
۸. زیرتقسیم باری‌سنتریک (Barycentric Subdivision)
یکی از مهم‌ترین انواع زیرتقسیم، زیرتقسیم باری‌سنتریک است. در این روش، برای هر سادک
مرکز باری‌سنتریک آن را در نظر می‌گیرند و با اتصال این مراکز، مجتمعی ظریف‌تر می‌سازند.
این نوع زیرتقسیم در توپولوژی جبری و نیز در اثبات‌های دقیق مربوط به تقریب سادکی کاربرد فراوان دارد.
۹. مجتمع خالص (Pure Complex)
یک مجتمع سادکی را خالص می‌نامند هرگاه هر سادک آن درون یک سادک بیشینه با بعد یکسان قرار گیرد.
برای مثال، در یک مثلث‌بندی استاندارد از یک سطح، انتظار داریم مجتمع دو‌بعدی خالص باشد؛
یعنی هر یال و هر رأس در نهایت به مثلث‌هایی تعلق داشته باشند.
۱۰. جهت‌گیری سادک (Orientation of a Simplex)
برای یک k-سادک،
ترتیب رأس‌ها می‌تواند یک جهت‌گیری تعیین کند. دو ترتیب را هم‌جهت می‌دانیم هرگاه
با یک جایگشت زوج به یکدیگر تبدیل شوند.
در مورد ۲-سادک‌ها، این مفهوم همان جهت پیمایش مثلث است؛ مثلاً ساعت‌گرد یا پادساعت‌گرد.
این تعریف بعداً در بررسی جهت‌پذیری سطوح و سازگاری جهت‌ها در مثلث‌بندی نقش کلیدی دارد.
نکتهٔ مفهومی:
اگر بخواهیم از یک سطح، یک مدل سادکی دقیق بسازیم، باید بدانیم سادک‌ها چگونه ساخته می‌شوند،
چگونه در هم می‌نشینند، کدام‌یک بیشینه‌اند، و آیا می‌توان جهت‌گیری سازگار به آنها داد یا نه.
این مجموعه تعاریف دقیقاً ابزار لازم برای همین کار را فراهم می‌کند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.