تعاریف تکمیلی در هندسه افین و نظریه سادک‌ها
برای صورت‌بندی دقیق مثلث‌بندی، علاوه بر استقلال افین و پوسته محدب، چند مفهوم بنیادی دیگر نیز لازم است:
فضای افین، بعد افین، وجه، درونی نسبی، اسکلت و تحقق هندسی. این مفاهیم زبان استاندارد
توصیف مجتمع‌های سادکی و کاربرد آنها در توپولوژی سطوح را فراهم می‌کنند.
۱. پوسته افین (Affine Hull)
برای یک مجموعه S \subseteq \mathbb{R}^n،
پوسته افین آن، کوچک‌ترین زیرفضای افینی است که شامل S باشد
و با نماد Aff(S) نشان داده می‌شود.
Aff(S) = { \sum_{i=1}^m \lambda_i v_i \;|\; v_i \in S,\; \sum_{i=1}^m \lambda_i = 1 }
یعنی Aff(S) از تمام ترکیبات افین نقاط S تشکیل می‌شود.
تفاوت آن با پوسته محدب در این است که در اینجا الزام
\lambda_i \ge 0 وجود ندارد.
۲. بعد افین (Affine Dimension)
بعد افین یک مجموعه S برابر است با بعد زیرفضای افینی
Aff(S). اگر نقاط
v_0,\dots,v_k مستقل افین باشند، آنگاه
dim Aff{v_0,\dots,v_k} = k
در نتیجه، سادکی که از k+1 رأس مستقل افین ساخته می‌شود،
یک k-سادک است.
۳. وجه (Face) یک سادک
اگر \sigma = [v_0,\dots,v_k] یک سادک باشد، هر سادکی که از
زیرمجموعه‌ای از رأس‌های آن ساخته شود، یک وجه از \sigma نامیده می‌شود.
\tau = [v_{i_0},\dots,v_{i_r}] \subseteq [v_0,\dots,v_k]
اگر r = k-1 باشد، به آن وجهِ بیشینهٔ proper یا
وجهِ هم‌بُعدِ یک کمتر می‌گویند. مثلاً در یک مثلث، اضلاع همان وجوه یک‌بعدی‌اند.
۴. وجهِ باز و درونی نسبی (Relative Interior)
درون یک سادک باید نه در فضای کل \mathbb{R}^n، بلکه نسبت به پوسته افین خودش
تعریف شود. به همین دلیل از مفهوم درونی نسبی استفاده می‌کنیم.
relint(\sigma) = { \sum_{i=0}^k \lambda_i v_i \;|\; \lambda_i > 0,\; \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1 }
این مجموعه، همان نقاطی از سادک است که روی هیچ وجه proper قرار ندارند.
مثلاً در مثلث، نقاطی که هر سه مختصات باری‌سنتریک‌شان مثبت است، درون نسبی مثلث را می‌سازند.
۵. مرز یک سادک (Boundary of a Simplex)
مرز یک k-سادک، اجتماع تمام وجوه proper آن است.
برای نمونه، مرز یک ۲-سادک همان سه ضلع آن، و مرز یک ۳-سادک همان چهار وجه مثلثی آن است.
\partial [v_0,\dots,v_k] = \bigcup_{i=0}^k [v_0,\dots,\widehat{v_i},\dots,v_k]
در این نماد، علامت \widehat{v_i} یعنی رأس v_i حذف شده است.
۶. اسکلت (Skeleton)
اگر K یک مجتمع سادکی باشد، اسکلت r-بعدی آن، زیرمجتمعی است
که از تمام سادک‌های با بعد حداکثر r تشکیل می‌شود و با
K^{(r)} نمایش داده می‌شود.
K^{(r)} = { \sigma \in K \;|\; dim(\sigma) \le r }
به‌طور خاص، اسکلت صفر‌بعدی فقط رأس‌ها را شامل می‌شود و اسکلت یک‌بعدی همان گراف زیرین مجتمع است.
۷. تحقق هندسی (Geometric Realization)
یک مجتمع سادکی در ابتدا می‌تواند به‌صورت صرفاً ترکیبی تعریف شود؛ اما وقتی هر سادک را به‌صورت
هندسی در فضا بنشانیم و اجتماع آنها را در نظر بگیریم، به این فضا
تحقق هندسی مجتمع می‌گوییم.
|K| = \bigcup_{\sigma \in K} \sigma
این همان فضایی است که در توپولوژی مطالعه می‌شود؛ یعنی مجتمع سادکی نه‌فقط یک دادهٔ گسسته،
بلکه یک فضای توپولوژیک واقعی تولید می‌کند.
۸. ستاره و لینک (Star and Link)
این دو مفهوم در مطالعهٔ ساختار موضعی مجتمع‌ها بسیار مهم‌اند.
ستاره یک سادک \sigma در مجتمع K،
مجموعهٔ تمام سادک‌هایی است که \sigma را به‌عنوان وجه دربر دارند.
لینک یک سادک، از آن بخش‌های ستاره ساخته می‌شود که با خود \sigma
اشتراک نداشته باشند. به‌طور شهودی، لینک توصیف می‌کند که «اطراف» آن سادک چگونه به نظر می‌رسد.
۹. زیرمجتمع (Subcomplex)
یک زیرمجموعه L \subseteq K را زیرمجتمع می‌نامیم هرگاه
همراه با هر سادک، تمام وجوه آن را نیز شامل شود. بنابراین زیرمجتمع نیز خودش یک مجتمع سادکی است.
۱۰. مثلث‌بندی (Triangulation)
اگر یک فضای توپولوژیک X با تحقق هندسی یک مجتمع سادکی
هم‌ریخت باشد، می‌گوییم X قابل مثلث‌بندی است.
یعنی:
X \cong |K|
این تعریف پلی است میان توپولوژی پیوسته و ساختارهای ترکیبی. در مطالعهٔ سطوح، مثلث‌بندی ابزار اصلی
برای محاسبهٔ مشخصه اویلر و طبقه‌بندی رویه‌هاست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.