تعاریف تکمیلی: هندسه مجموعه‌های محدب و فضاهای افین
برای اینکه بتوانیم یک سطح را به صورت ریاضی «مثلث‌بندی» کنیم، ابتدا باید بدانیم قطعات سازنده آن (سادک‌ها) در چه فضایی و با چه ویژگی‌های هندسی تعریف می‌شوند. در ادامه تعاریف کلیدی استخراج شده از یادداشت‌ها آورده شده است:
۱. زیرفضای افین (Affine Subspace)
یک زیرمجموعه L از Rn را یک زیرفضای افین نامیم، هرگاه برای هر دو نقطه متمایز x, y ∈ L، تمام خط گذرنده از آن دو نقطه نیز کاملاً در L قرار بگیرد.
L = { (1 - t)x + ty | t ∈ R } ⊆ L
* نکته: برخلاف زیرفضاهای برداری، زیرفضای افین الزماً نباید از مبدأ مختصات (0) عبور کند.
۲. مجموعه محدب (Convex Set)
یک مجموعه C را محدب گوییم، هرگاه برای هر دو نقطه x, y ∈ C، تمام «پاره‌خط» واصل بین آن دو نیز در C قرار داشته باشد.
{ (1 - t)x + ty | 0 ≤ t ≤ 1 } ⊆ C
۳. پوسته محدب (Convex Hull)
فرض کنید S مجموعه‌ای از نقاط در Rn باشد. پوسته محدب S که با نماد conv(S) نشان داده می‌شود، کوچکترین مجموعه محدبی است که شامل S باشد.
تعریف معادل: پوسته محدب برابر است با مجموعه تمام ترکیبات محدب نقاط S. یعنی تمام نقاطی که به صورت ∑ λi vi نوشته می‌شوند به طوری که ∑ λi = 1 و λi ≥ 0.
۴. مختصات باری‌سنتریک (Barycentric Coordinates)
اگر مجموعه نقاط {v0, ..., vk} مستقل افین باشند، هر نقطه x در سادک تولید شده توسط آنها را می‌توان به صورت یکتا با ضرایب λi نمایش داد. این ضرایب را مختصات باری‌سنتریک نقطه x نسبت به رئوس vi می‌نامند.
چرا این تعاریف مهم هستند؟
در توپولوژی سطوح، وقتی می‌خواهیم بگوییم یک صفحه به مثلث‌هایی تقسیم شده است، در واقع می‌گوییم سطح ما یک مجتمع سادکی است. استقلال افین تضمین می‌کند که مثلث‌های ما «تخت» (Degenerate) نشده و دارای مساحت غیرصفر هستند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.