بخش تمرینات: محک دانش توپولوژی
در ادامه سه تمرین کلیدی برای سنجش درک شما از نمایش‌های چندضلعی و طبقه‌بندی رویه‌ها آورده شده است. پاسخ‌ها در انتهای هر بخش آمده‌اند.
۱. تحلیل کلمه رویه (Identification)
رویه حاصل از نمایش چندضلعی با کلمه زیر را شناسایی کنید و بگویید آیا جهت‌پذیر است یا خیر؟
W = a b a-1 b
راهنمایی: به دنبال جفت‌های تکراری بدون معکوس باشید.
این رویه بطری کلاین (Klein Bottle) است. از آنجا که کلمه دارای جفت‌های a و b است که در آن هر دو توان (جهت) یکسان دارند، رویه ناجهت‌پذیر است.
۲. محاسبه مشخصه اویلر
مشخصه اویلر (χ) را برای جمع همبند دو توروس محاسبه کنید: T # T
مشخصه اویلر توروس χ(T) = 0 است.
فرمول جمع همبند: χ(M1 # M2) = χ(M1) + χ(M2) - 2
پس: 0 + 0 - 2 = -2
بنابراین مشخصه اویلر برای این رویه (که سطحی با دو سوراخ است) برابر با 2- می‌باشد.
۳. اثبات نظری
آیا جمع همبند یک کره با هر رویه دلخواه M، تغییر در توپولوژی M ایجاد می‌کند؟
خیر. کره (S2) در ساختار مونوئیدی رویه‌ها نقش عضو خنثی (Identity Element) را بازی می‌کند.
رابطه: M # S2 ≅ M
به لحاظ شهودی، بریدن یک دیسک از رویه M و چسباندن آن به رویه دیگر (کره)، عملاً تغییری در توپولوژی اصلی ایجاد نمی‌کند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.