مثال کاربردی: جمع همبند در فیزیک و کرم‌چاله‌ها
یکی از جذاب‌ترین کاربردهای جمع همبند در فیزیک نظری، مدل‌سازی ایجاد کرم‌چاله‌ها (Wormholes) در فضا-زمان است. از دیدگاه توپولوژیک، ایجاد یک میان‌بر بین دو نقطه دوردست در فضا-زمان را می‌توان با استفاده از این عملیات توصیف کرد.
۱. مدل‌سازی کرم‌چاله
فرض کنید فضا-زمان ما یک منیفلد ۳-بعدی به نام M باشد. اگر بخواهیم یک کرم‌چاله ایجاد کنیم که دو ناحیه مجزا از این فضا را به هم متصل کند، عملاً در حال انجام یک عمل جمع همبند با یک "استوانه توپولوژیک" یا دستگیره هستیم.
در این حالت، فرمول‌بندی به صورت زیر خواهد بود:
Mnew = M # (S2 × I)
در اینجا S2 × I نماد یک لوله (استوانه) است که دو دهانه آن به دو حفره ایجاد شده در فضا-زمان متصل می‌شود.
۲. آنتروپی و سیاهچاله‌ها
در ترمودینامیک سیاهچاله‌ها، وقتی دو سیاهچاله با هم ادغام می‌شوند، افق رویداد آنها دستخوش تغییرات توپولوژیک می‌شود. جمع همبند به فیزیکدانان کمک می‌کند تا تغییرات در آنتروپی (Entropy) سیستم را محاسبه کنند. طبق رابطه هاوکینگ-بکنشتاین:
Stotal ≥ S(M1) + S(M2)
این نابرابری نشان می‌دهد که در فرآیند جمع همبند (ادغام)، آنتروپی کل سیستم (که متناسب با مساحت سطح منیفلد حاصل است) همواره بزرگتر یا مساوی مجموع آنتروپی‌های اولیه است، که این با قانون دوم ترمودینامیک سازگار است.
۳. گرانش کوانتومی
در نظریه میدان‌های کوانتومی و گرانش کوانتومی، مفهوم "کف کوانتومی" (Quantum Foam) مطرح می‌شود. در ابعاد بسیار کوچک (مقیاس پلانک)، فضا-زمان مدام در حال تغییر توپولوژی از طریق عمل جمع همبند با منیفلدهای کوچک و پیچیده است. این پدیده باعث می‌شود که فضا-زمان در مقیاس خرد، برخلاف ظاهر صاف و هموارش در مقیاس کلان، بسیار پرفراز و نشیب و متخلطم باشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.