توسط علی رضا نقش نیلچی
| یکشنبه بیست و هشتم تیر ۱۴۰۵ | 19:5
جهت‌پذیری منیفلدها — بخش چهارم: همولوژی و دیدگاه جبری-توپولوژیک
1) کلاس بنیادی
اگر M یک منیفلد بسته، همبند و جهت‌پذیر باشد، آنگاه یک
کلاس بنیادی در بالاترین همولوژی آن وجود دارد.
[M] ∈ Hn(M; ℤ)
در این حالت معمولاً داریم:
Hn(M; ℤ) ≅ ℤ
2) حالت جهت‌ناپذیر
اگر منیفلد بسته و همبند جهت‌ناپذیر باشد، کلاس بنیادی با ضرایب صحیح وجود ندارد و
در نتیجه
Hn(M; ℤ) = 0
اما با ضرایب
ℤ2
همیشه داریم:
Hn(M; ℤ2) ≅ ℤ2
3) مانع استیفل–ویتنی اول
مانع اصلی جهت‌پذیری، کلاس
w1(TM)
است.
اگر این کلاس صفر باشد، منیفلد جهت‌پذیر است.
M orientable ⇔ w1(TM) = 0
4) نکتهٔ مهم دربارهٔ انتگرال‌گیری
روی منیفلد جهت‌پذیر می‌توان انتگرال سراسریِ فرم‌های درجهٔ بالا را تعریف کرد.
روی منیفلد جهت‌ناپذیر این کار به‌صورت معمول ممکن نیست، مگر با استفاده از چگالی‌ها یا twisted forms.
5) جمع‌بندی نهایی
- جهت‌پذیری: وجود یک جهت سراسری سازگار
- معیار تحلیلی: وجود فرم حجم ناصفر
- معیار جبری: صفر بودن w1
- مثال‌های مهم: ℝn، Sn، T2
- پادمثال‌ها: موبیوس، بطری کلاین، RP2
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.