جهت‌پذیری منیفلدها — بخش اول: مبانی و تعریف‌ها
در توپولوژی دیفرانسیل، جهت‌پذیری یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم است.
این مفهوم ابتدا برای فضاهای برداری و سپس برای منیفلدها تعریف می‌شود.
1) جهت در فضای برداری
اگر V یک فضای برداری حقیقی n-بعدی باشد،
هر پایهٔ مرتب از V یکی از دو جهت ممکن را تعیین می‌کند.
دو پایهٔ مرتب هم‌جهت‌اند هرگاه دترمینان ماتریس تغییر پایه بین آنها مثبت باشد.
بنابراین مجموعهٔ پایه‌ها به دو کلاس تقسیم می‌شود:
- کلاسِ جهتِ مثبت
- کلاسِ جهتِ منفی
این همان معنای دقیق «دو جهت بودن» در یک فضای برداری حقیقی است.
2) تعریف جهت‌پذیری منیفلد
یک منیفلد هموار M را جهت‌پذیر می‌نامیم هرگاه بتوان روی همهٔ فضاهای مماس آن
جهتی را به‌طور سازگار انتخاب کرد.
به زبان چارت‌ها، این یعنی اطلسی وجود دارد که تمام توابع انتقال آن جهت‌حافظ باشند؛
یعنی ژاکوبین آنها مثبت باشد.
det(D(φβ ∘ φα−1)) > 0
3) معیار فرم حجم
یک معیار مهم و بسیار مفید این است:
منیفلد M جهت‌پذیر است اگر و تنها اگر یک
n-فرم هموارِ همه‌جا ناصفر روی آن وجود داشته باشد.
ω = dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn
چنین فرمی یک جهت سراسری تعیین می‌کند.
4) مثال‌های ساده
- ℝn جهت‌پذیر است.
- S1 جهت‌پذیر است.
- Sn جهت‌پذیر است.
- هر منیفلد یک‌بعدی هموار، جهت‌پذیر است.
در بخش بعدی، مثال‌ها و پادمثال‌های کلاسیک مثل نوار موبیوس، بطری کلاین و
RPn را بررسی می‌کنیم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.