منیفلدهای جهت‌پذیر و جهت‌ناپذیر
«جهت‌پذیری» یا Orientability ویژگی‌ای سراسری از یک منیفلد است که مشخص می‌کند آیا می‌توان مفهوم یکنواختی از «جهت راست‌دست/چپ‌دست» را در تمام نقاط منیفلد تعریف کرد یا نه.
به‌طور شهودی:
- منیفلد جهت‌پذیر است اگر بتوان یک جهت محلی را انتخاب کرد و آن را بدون تناقض در سراسر منیفلد ادامه داد.
- منیفلد جهت‌ناپذیر است اگر حرکت جهت انتخاب‌شده حول بعضی مسیرهای بسته، پس از بازگشت به نقطهٔ شروع، آن را وارونه کند.
1. جهت در یک فضای برداری
فرض کنیم V یک فضای برداری حقیقی n-بعدی باشد. دو پایهٔ مرتب
(v1, ..., vn), (v'1, ..., v'n)
را هم‌جهت می‌نامیم اگر ماتریس تغییر پایه دارای دترمینان مثبت باشد:
det A > 0
اگر
det A < 0
دو پایه دارای جهت مخالف‌اند.
بنابراین مجموعهٔ تمام پایه‌های مرتب V به دو رده تقسیم می‌شود. انتخاب یکی از این دو رده، یک جهت برای V است.
برای مثال، در R2، پایهٔ استاندارد (e1, e2) یک جهت تعیین می‌کند. پایهٔ (e2, e1) جهت مخالف دارد، زیرا جابه‌جایی دو بردار دترمینان را منفی می‌کند.
2. جهت در یک منیفلد هموار
فرض کنیم M یک منیفلد هموار n-بعدی باشد. در هر نقطهٔ p ∈ M، فضای مماس TpM یک فضای برداری n-بعدی است و می‌توان برای آن جهت انتخاب کرد.
اما جهت‌پذیری صرفاً به معنای انتخاب جداگانهٔ جهت برای هر TpM نیست؛ این انتخاب‌ها باید هنگام تغییر p به‌صورت پیوسته یا هموار تغییر کنند.
تعریف: منیفلد هموار M را جهت‌پذیر می‌نامیم اگر بتوان برای تمام فضاهای مماس TpM جهت‌هایی انتخاب کرد به‌گونه‌ای که این انتخاب نسبت به p به‌صورت پیوسته تغییر کند.
3. تعریف جهت‌پذیری با اطلس
فرض کنید چارت‌های یک اطلس برای M به صورت φα: Uα → Rn باشند. روی هم‌پوشانی دو چارت، نگاشت انتقال عبارت است از
φβ ∘ φα-1
منیفلد M جهت‌پذیر است اگر اطلسی داشته باشد که برای هر هم‌پوشانی ناتهی و در تمام نقاط آن،
det D(φβ ∘ φα-1) > 0
چنین اطلسی را اطلس جهت‌دار می‌نامند.
اگر نتوان چنین اطلسی یافت، منیفلد جهت‌ناپذیر است.
4. تعریف با فرم حجم
یک معیار مهم برای جهت‌پذیری این است:
یک منیفلد هموار n-بعدی M جهت‌پذیر است اگر و تنها اگر روی آن یک n-فرم هموارِ همه‌جا ناصفر وجود داشته باشد.
ω ∈ Ωn(M), ωp ≠ 0
اگر (v1, ..., vn) پایه‌ای از TpM باشد، می‌گوییم این پایه نسبت به ω دارای جهت مثبت است هرگاه
ωp(v1, ..., vn) > 0
در مختصات محلی می‌توان نوشت:
ω = f(x) dx1 ∧ ... ∧ dxn
اگر M همبند باشد، علامت f نمی‌تواند بدون صفر شدن تغییر کند. بنابراین ω یک جهت سراسری تعیین می‌کند.
5. تعبیر هندسی با انتقال حول مسیر بسته
یک پایهٔ جهت‌دار در فضای مماس TpM انتخاب کنید و آن را به‌طور پیوسته روی یک مسیر بسته
γ: [0,1] → M, γ(0) = γ(1) = p
حرکت دهید.
دو حالت ممکن است:
- پایه پس از بازگشت، همان جهت اولیه را داشته باشد.
- پایه پس از بازگشت، جهت مخالف پیدا کند.
اگر مسیر بسته‌ای وجود داشته باشد که جهت را وارونه کند، منیفلد جهت‌ناپذیر است.
این دقیقاً اتفاقی است که در نوار موبیوس رخ می‌دهد.
6. مثال‌های جهت‌پذیر
6.1. فضای اقلیدسی
فضای Rn جهت‌پذیر است، زیرا فرم
dx1 ∧ ... ∧ dxn
در تمام نقاط ناصفر است.
6.2. دایره
دایره S1 جهت‌پذیر است. انتخاب جهت ساعت‌گرد یا پادساعت‌گرد یک جهت سراسری روی آن تعیین می‌کند.
6.3. کره‌ها
تمام کره‌های Sn جهت‌پذیرند.
برای مثال، جهت S2 ⊂ R3 را می‌توان با بردار نرمال بیرونی تعیین کرد. پایهٔ (v1, v2) از TpS2 مثبت است اگر
(Np, v1, v2)
یک پایهٔ مثبت برای R3 باشد، که Np بردار نرمال بیرونی است.
6.4. چنبره
چنبره T2 = S1 × S1 جهت‌پذیر است. اگر θ و φ مختصات زاویه‌ای باشند، فرم
dθ ∧ dφ
به‌طور محلی جهت را تعیین می‌کند.
به‌طور کلی، حاصل‌ضرب دو منیفلد جهت‌پذیر نیز جهت‌پذیر است:
M, N جهت‌پذیر ⇒ M × N جهت‌پذیر
6.5. گروه‌های لی
هر گروه لی حقیقی G جهت‌پذیر است.
کافی است یک جهت روی فضای مماس در همانی TeG انتخاب کنیم و آن را با انتقال‌های چپ Lg(h)=gh به تمام نقاط منتقل کنیم.
7. مثال‌های جهت‌ناپذیر
7.1. نوار موبیوس
نوار موبیوس از مستطیل
[0,1] × [-1,1]
با شناسایی
(0,t) ~ (1,-t)
ساخته می‌شود.
علامت منفی در مؤلفهٔ دوم موجب وارونگی جهت می‌شود. اگر یک پایهٔ محلی را در امتداد خط مرکزی نوار حرکت دهیم، پس از یک دور کامل، یکی از بردارهای پایه علامت عوض می‌کند:
(v1, v2) → (v1, -v2)
دترمینان این تبدیل منفی است:
det [ [1, 0], [0, -1] ] = -1
بنابراین نوار موبیوس جهت‌ناپذیر است.
نکتهٔ مهم آن است که مرز نوار موبیوس یک دایره و در نتیجه جهت‌پذیر است، هرچند خود نوار جهت‌ناپذیر است.
7.2. صفحهٔ تصویری حقیقی
صفحهٔ تصویری حقیقی RP2 جهت‌ناپذیر است.
آن را می‌توان از کرهٔ S2 با شناسایی نقاط متقابل ساخت:
x ~ -x
نگاشت پادپایی روی Sn،
A(x) = -x
درجهٔ توپولوژیک
deg A = (-1)n+1
دارد. بنابراین RPn دقیقاً زمانی جهت‌پذیر است که n فرد باشد.
پس RP2 جهت‌ناپذیر است، اما RP1، RP3، RP5 و ... جهت‌پذیرند.
7.3. بطری کلاین
بطری کلاین نیز جهت‌ناپذیر است. این سطح را می‌توان از مربع با شناسایی اضلاع ساخت، به‌گونه‌ای که یکی از جفت اضلاع با وارونگی جهت به هم چسبانده می‌شوند.
بطری کلاین برخلاف نوار موبیوس، مرز ندارد:
∂K = ∅
8. سطوح فشرده و جهت‌پذیری
سطوح فشرده، همبند و بدون مرز به دو خانواده تقسیم می‌شوند.
سطوح جهت‌پذیر
هر سطح جهت‌پذیر فشرده از اتصال مجموعی g چنبره ساخته می‌شود:
Σg = T2 # ... # T2
که در آن g بار تکرار شده است.
مشخصهٔ اویلر آن برابر است با
χ(Σg) = 2 - 2g
برای مثال:
Σ0 = S2, Σ1 = T2
سطوح جهت‌ناپذیر
هر سطح جهت‌ناپذیر فشرده و همبند، اتصال مجموعی چند نسخه از RP2 است:
Nk = RP2 # ... # RP2
که در آن k بار تکرار شده است.
مشخصهٔ اویلر آن برابر است با
χ(Nk) = 2 - k
برای مثال:
N1 = RP2, N2 = بطری کلاین
9. معیار همولوژیک جهت‌پذیری
اگر M یک منیفلد همبند، فشرده، بدون مرز و n-بعدی باشد، آنگاه
M جهت‌پذیر است ⇔ Hn(M; Z) ≅ Z
اگر M جهت‌ناپذیر باشد، معمولاً
Hn(M; Z) = 0
با ضرایب Z2، علامت مثبت و منفی تمایزی ندارند؛ بنابراین برای هر منیفلد بسته و همبند داریم
Hn(M; Z2) ≅ Z2
10. کلاس استیفل–ویتنی اول
مانع بنیادی جهت‌پذیری، اولین کلاس استیفل–ویتنی دستهٔ مماس است:
w1(TM) ∈ H1(M; Z2)
داریم:
M جهت‌پذیر است ⇔ w1(TM) = 0
این کلاس بررسی می‌کند که انتقال جهت حول حلقه‌های بسته، جهت را حفظ می‌کند یا وارونه می‌سازد.
11. پوشش دوگانهٔ جهت‌گیری
هر منیفلد هموار M دارای یک پوشش دوورقه‌ای طبیعی به نام پوشش جهت‌گیری است:
M~or → M
اگر M جهت‌پذیر و همبند باشد، این پوشش به دو نسخهٔ جدا از M تجزیه می‌شود:
M~or ≅ M ⊔ M
اگر M جهت‌ناپذیر و همبند باشد، پوشش جهت‌گیری همبند است.
مثلاً پوشش جهت‌گیری نوار موبیوس یک استوانه است، و پوشش جهت‌گیری RP2 کرهٔ S2 است:
S2 → RP2
12. جهت‌پذیری و انتگرال‌گیری
برای تعریف انتگرال یک n-فرم روی منیفلد n-بعدی،
∫M ω
باید یک جهت روی M انتخاب شده باشد.
علت آن است که تغییر مختصات جهت‌وارون، علامت فرم درجهٔ بالا را تغییر می‌دهد. بنابراین روی یک منیفلد جهت‌ناپذیر، انتگرال سراسری n-فرم‌ها به روش معمول تعریف نمی‌شود.
با این‌حال، روی منیفلد جهت‌ناپذیر می‌توان از چگالی‌ها یا فرم‌های پیچ‌خورده استفاده کرد؛ زیرا در فرمول تغییر متغیر چگالی‌ها قدرمطلق دترمینان ظاهر می‌شود:
|det Dφ|
13. جهت القایی روی مرز
اگر M یک منیفلد جهت‌دار با مرز باشد، مرز آن ∂M به‌طور طبیعی جهت می‌گیرد.
قرارداد متداول «نرمال بیرونی در ابتدا» است: پایهٔ (v1, ..., vn-1) برای Tp(∂M) مثبت است اگر
(νout, v1, ..., vn-1)
پایه‌ای مثبت برای TpM باشد.
این جهت القایی در قضیهٔ استوکس ظاهر می‌شود:
∫M dω = ∫∂M ω
14. نکات مهم
- جهت‌پذیری یک ویژگی سراسری است. هر منیفلد به‌طور محلی شبیه Rn و در نتیجه به‌طور محلی جهت‌پذیر است.
- جهت‌پذیری با نشاندن در فضا یکی نیست. سطح ممکن است جهت‌پذیر باشد، مستقل از اینکه چگونه در فضای بزرگ‌تر قرار گرفته است.
- اتصال ساده جهت‌پذیری را تضمین می‌کند. هر منیفلد هموارِ همبند و به‌سادگی‌همبند جهت‌پذیر است.
جمع‌بندی
تعریف‌های زیر برای یک منیفلد هموار n-بعدی اساساً معادل‌اند:
M جهت‌پذیر است
⇔
جهت فضاهای مماس را می‌توان سراسری و پیوسته انتخاب کرد
⇔
اطلسی با ژاکوبین‌های انتقالِ مثبت وجود دارد
⇔
یک n-فرم هموار و همه‌جا ناصفر وجود دارد
⇔
w1(TM) = 0
برای منیفلد بسته و همبند نیز:
M جهت‌پذیر ⇔ Hn(M; Z) ≅ Z
نمونه‌های اصلی:
| منیفلد | وضعیت |
|---|---|
| Rn | جهت‌پذیر |
| Sn | جهت‌پذیر |
| Tn | جهت‌پذیر |
| گروه‌های لی | جهت‌پذیر |
| نوار موبیوس | جهت‌ناپذیر |
| RP2 | جهت‌ناپذیر |
| بطری کلاین | جهت‌ناپذیر |
| RPn | برای n فرد جهت‌پذیر |
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.