ریاضیات

برگهٔ امتحان

توپولوژی سطوح — امتحان سوم

موضوع: مثلث‌بندی سطوح، مشخصهٔ اویلر، استدلال‌های شمارشی و مقایسهٔ توپولوژیک

تذکر:

در همهٔ سؤال‌ها، علاوه بر پاسخ نهایی، استدلال خود را نیز بنویسید. پاسخ‌های بدون توضیح کامل، نمرهٔ کامل نخواهند داشت.

سؤال 1 ـ 2 نمره

مشخصهٔ اویلر را برای یک سطح مثلث‌بندی‌شده تعریف کنید. سپس توضیح دهید چرا این کمیت یک ناوردای توپولوژیک مهم است و چه نقشی در طبقه‌بندی سطوح دارد.

سؤال 2 ـ 2 نمره

در یک سطح بستهٔ مثلث‌بندی‌شده ثابت کنید که رابطهٔ

3F = 2E

برقرار است. در استدلال خود دقیقاً توضیح دهید هر طرف این رابطه چه چیزی را می‌شمارد.

سؤال 3 ـ 2 نمره

توضیح دهید چرا رابطهٔ

3F = 2E

برای سطوح مرزدار بدون اصلاح درست نیست. اگر

B

تعداد یال‌های مرزی باشد، رابطهٔ درست شمارشی را بنویسید.

سؤال 4 ـ 2 نمره

فرض کنید یک سطح بسته مثلث‌بندی‌شده دارای

V=12

و

F=20

است.

الف) با استفاده از رابطهٔ مناسب، مقدار

E

را بیابید.

ب) سپس مشخصهٔ اویلر

χ

را محاسبه کنید.

سؤال 5 ـ 2 نمره

برای توروس در مدل استانداردی از مثلث‌بندی داریم:

V=9،

E=27،

F=18.

الف) مقدار

χ

را حساب کنید.

ب) توضیح دهید چرا این سطح بسته و توجیه‌پذیر است.

سؤال 6 ـ 2 نمره

برای نوار موبیوس در یک مثلث‌بندی نمونه داریم:

V=6،

E=12،

F=6.

الف) مقدار

χ

را محاسبه کنید.

ب) توضیح دهید چرا با وجود برابر بودن

χ

با توروس، این دو سطح هم‌ریخت توپولوژیک نیستند.

سؤال 7 ـ 2 نمره

بطری کلاین را با زبان شناسایی ضلع‌های یک مستطیل تعریف کنید. سپس توضیح دهید کدام ویژگی آن باعث می‌شود این سطح ناتوجیه‌پذیر باشد.

سؤال 8 ـ 2 نمره

برای بطری کلاین در مدل استانداردی از مثلث‌بندی داریم:

V=9،

E=27،

F=18.

الف) مشخصهٔ اویلر را محاسبه کنید.

ب) بطری کلاین را از نظر مرزدار بودن و توجیه‌پذیری با توروس مقایسه کنید.

سؤال 9 ـ 2 نمره

برای

RP2

در یک مثلث‌بندی استاندارد داریم:

V=6،

E=15،

F=10.

الف) مقدار

χ

را بیابید.

ب) توضیح دهید چرا این سطح را نمی‌توان با توروس یا بطری کلاین یکی دانست.

سؤال 10 ـ 4 نمره

سه سطح زیر را از نظر مقدار

χ،

مرزدار یا بی‌مرز بودن،

و توجیه‌پذیر یا ناتوجیه‌پذیر بودن مقایسه کنید و نتیجه بگیرید چرا دانستن فقط مشخصهٔ اویلر برای تشخیص کامل نوع سطح کافی نیست:

توروس، بطری کلاین، نوار موبیوس،

و

RP2.

پاسخ 1:

مشخصهٔ اویلر برای یک سطح مثلث‌بندی‌شده از رابطهٔ

χ = V - E + F

به‌دست می‌آید. این کمیت ناوردای توپولوژیک است؛ یعنی تحت هم‌ریختی توپولوژیک تغییر نمی‌کند. بنابراین در طبقه‌بندی سطوح و تشخیص تفاوت میان آن‌ها بسیار مهم است.

پاسخ 2:

هر وجه مثلثی 3 یال دارد، پس اگر یال‌های همهٔ وجه‌ها را بشماریم، تعداد کل برابر

3F

می‌شود. از طرف دیگر، در یک سطح بسته هر یال دقیقاً بین دو وجه مشترک است؛ پس در این شمارش هر یال دوبار شمرده می‌شود، یعنی تعداد کل برابر

2E

است. بنابراین:

پاسخ 3:

در سطح مرزدار، همهٔ یال‌ها در دو وجه مشترک نیستند؛ یال‌های مرزی فقط در یک وجه ظاهر می‌شوند. اگر

B

تعداد یال‌های مرزی باشد، آن‌گاه شمارش درست چنین است:

زیرا یال‌های داخلی دوبار و یال‌های مرزی یک‌بار شمرده می‌شوند.

پاسخ 4:

از رابطهٔ

3F = 2E

داریم:

سپس:

پس مشخصهٔ اویلر برابر

2

است.

پاسخ 5:

الف)

ب) توروس حاصل شناسایی دو جفت ضلع مقابل یک مستطیل بدون وارونگی است. بنابراین مرز ندارد و از آنجا که جهت‌ها به‌طور سازگار حفظ می‌شوند، توجیه‌پذیر است.

پاسخ 6:

الف)

ب) نوار موبیوس مرز دارد و ناتوجیه‌پذیر است، در حالی که توروس بی‌مرز و توجیه‌پذیر است. پس با وجود برابری

χ

، این دو سطح توپولوژیکاً یکسان نیستند.

پاسخ 7:

بطری کلاین از یک مستطیل به‌دست می‌آید که در آن یک جفت ضلع مقابل به‌صورت مستقیم و جفت دیگر با وارونگی شناسایی می‌شوند. همین وارونگی سبب می‌شود نتوان روی کل سطح یک جهت سازگار تعریف کرد؛ پس سطح ناتوجیه‌پذیر است.

پاسخ 8:

الف)

ب) بطری کلاین مانند توروس بی‌مرز است، اما بر خلاف توروس ناتوجیه‌پذیر است. پس این دو با وجود داشتن

χ=0

، یکسان نیستند.

پاسخ 9:

الف)

ب) چون توروس و بطری کلاین هر دو

χ=0

دارند، اما

RP2

دارای

χ=1

است، این سطح از آن‌ها متمایز می‌شود. همچنین

RP2

ناتوجیه‌پذیر و بی‌مرز است.

پاسخ 10:

نتیجه: دانستن فقط مشخصهٔ اویلر برای تشخیص کامل نوع سطح کافی نیست، زیرا ممکن است چند سطح مقدار

χ

یکسان داشته باشند، اما از نظر مرزدار بودن یا توجیه‌پذیری با هم متفاوت باشند.