ریاضیات

حتماً. در ادامه **صفحهٔ تصویری حقیقی** (`RP^2`) را هم با همان روش می‌نویسم:

یعنی **شکل شماتیک، مراحل ساخت، کدگذاری رأس‌ها و یال‌ها و مثلث‌ها، و محاسبهٔ مشخصهٔ اویلر**.

نکتهٔ مهم:

صفحهٔ تصویری حقیقی را می‌توان به صورت

- یک **دیسک** با شناسایی **نقاط متقابلِ مرز**

- یا یک **مربع** که هر دو جفت ضلعِ مقابل آن **با وارونگی** به هم چسبانده می‌شوند

در نظر گرفت.

برای مثلث‌بندی، از یک مدل استاندارد و بسیار معروف استفاده می‌کنیم که دارد:

- `6` رأس

- `15` یال

- `10` مثلث

و بنابراین:

- `χ = 6 - 15 + 10 = 1

--------------------------------------------------

شکل شماتیک

--------------------------------------------------

این شکل فقط یک **چیدمان شماتیک** برای نام‌گذاری رأس‌هاست؛

یعنی قرار نیست همهٔ یال‌ها را کاملاً بدون تداخل نشان بدهد، بلکه کدگذاری را روشن می‌کند:

```text

1

/ | \

/ | \

2---3---4

\ / \ /

5---6

```

اما در مثلث‌بندی نهایی، یال‌ها فقط همین چند خطِ دیده‌شده نیستند؛

بلکه بین بعضی رأس‌ها یال‌های دیگری هم وجود دارند، به‌طوری‌که در این مدل، **هر دو رأس به وسیلهٔ یک یال به هم وصل‌اند**.

یعنی گراف یال‌ها همان `K6` است.

--------------------------------------------------

مرحله 1: رأس‌ها

--------------------------------------------------

رأس‌ها را این‌گونه نام‌گذاری می‌کنیم:

```text

V = {1,2,3,4,5,6}

```

پس:

```text

|V| = 6

```

--------------------------------------------------

مرحله 2: یال‌ها

--------------------------------------------------

در این مدل، بین هر دو رأس یک یال داریم.

پس مجموعهٔ یال‌ها برابر است با همهٔ زوج‌های ممکن از `1` تا `6`.

فهرست کامل یال‌ها:

```text

12, 13, 14, 15, 16,

23, 24, 25, 26,

34, 35, 36,

45, 46,

56

```

پس:

```text

E = {12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}

```

و بنابراین:

```text

|E| = 15

```

--------------------------------------------------

مرحله 3: مثلث‌ها

--------------------------------------------------

اکنون 10 مثلث را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

```text

123, 124, 135, 146, 156,ک

236, 245, 256, 345, 346

```

یعنی:

```text

F = {123,124,135,146,156,236,245,256,345,346}

```

و در نتیجه:

```text

|F| = 10

```

--------------------------------------------------

مرحله 4: چرا این مدل درست است؟

--------------------------------------------------

در این مثلث‌بندی، هر یال دقیقاً در **دو مثلث** ظاهر می‌شود.

برای نمونه:

- یال `12` در مثلث‌های `123` و `124`

- یال `13` در مثلث‌های `123` و `135`

- یال `14` در مثلث‌های `124` و `146`

- یال `15` در مثلث‌های `135` و `156`

- یال `16` در مثلث‌های `146` و `156`

و به همین ترتیب برای بقیهٔ یال‌ها.

این نشان می‌دهد که مدل ما یک **سطح بستهٔ مثلث‌بندی‌شده** می‌سازد.

چون مقدار مشخصهٔ اویلر آن `1` است و سطح نیز ناتوجیه‌پذیر است، این سطح همان **صفحهٔ تصویری حقیقی** است.

--------------------------------------------------

مرحله 5: جدول بررسی یال‌ها

--------------------------------------------------

برای اطمینان، می‌توان دید که هر یال دقیقاً دو بار در فهرست مثلث‌ها آمده است:

| یال | مثلث‌های شامل آن |

|---|---|

| `12` | `123`, `124` |

| `13` | `123`, `135` |

| `14` | `124`, `146` |

| `15` | `135`, `156` |

| `16` | `146`, `156` |

| `23` | `123`, `236` |

| `24` | `124`, `245` |

| `25` | `245`, `256` |

| `26` | `236`, `256` |

| `34` | `345`, `346` |

| `35` | `135`, `345` |

| `36` | `236`, `346` |

| `45` | `245`, `345` |

| `46` | `146`, `346` |

| `56` | `156`, `256` |

پس هیچ یالی مرزی باقی نمی‌ماند و سطح بسته است.

--------------------------------------------------

مرحله 6: محاسبهٔ مشخصهٔ اویلر

--------------------------------------------------

فرمول اویلر:

```text

χ = V - E + F

```

با قرار دادن مقادیر:

```text

χ = 6 - 15 + 10

χ = 1

```

پس:

```text

χ(RP^2) = 1

```

--------------------------------------------------

نتیجه

--------------------------------------------------

در این مثلث‌بندیِ صفحهٔ تصویری حقیقی داریم:

- تعداد رأس‌ها: `6`

- تعداد یال‌ها: `15`

- تعداد مثلث‌ها: `10`

و در نتیجه:

```text

χ = 1

```

پس این مدل، یک مثلث‌بندی درست از **صفحهٔ تصویری حقیقی** است.

--------------------------------------------------

جدول نهایی

--------------------------------------------------

| جزء | مقدار | تعداد |

|---|---|---:|

| رأس‌ها | `V={1,2,3,4,5,6}` | 6 |

| یال‌ها | `E={12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}` | 15 |

| مثلث‌ها | `F={123,124,135,146,156,236,245,256,345,346}` | 10 |

| مشخصه اویلر

| `χ = 6 - 15 + 10` | 1 |

--------------------------------------------------

HTML مناسب بلاگفا

--------------------------------------------------

```html

مثلث‌بندی کامل صفحهٔ تصویری حقیقی با کدگذاری رأس‌ها، یال‌ها و مثلث‌ها

برای نمایش صفحهٔ تصویری حقیقی از یک مثلث‌بندی استاندارد استفاده می‌کنیم که دارای

6 رأس، 15 یال و 10 مثلث است.

در نتیجه مشخصهٔ اویلر آن برابر 1 می‌شود.

شکل شماتیک

1

/ | \

/ | \

2---3---4

\ / \ /

5---6

این شکل فقط برای نام‌گذاری رأس‌هاست. در مثلث‌بندی نهایی، یال‌های بیشتری نیز وجود دارند

و مجموعهٔ یال‌ها کامل است.

مرحله 1: رأس‌ها

V = {1,2,3,4,5,6}

بنابراین

|V| = 6.

مرحله 2: یال‌ها

در این مدل، بین هر دو رأس یک یال وجود دارد. بنابراین:

E = {12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}

پس

|E| = 15.

مرحله 3: مثلث‌ها

فهرست کامل مثلث‌ها چنین است:

پس:

F = {123,124,135,146,156,236,245,256,345,346}

بنابراین

|F| = 10.

مرحله 4: بررسی یال‌ها

هر یال دقیقاً در دو مثلث ظاهر می‌شود. برای مثال:

• 12 در 123 و 124
• 13 در 123 و 135
• 14 در 124 و 146
• 15 در 135 و 156
• 16 در 146 و 156

و همین وضعیت برای همهٔ یال‌های دیگر نیز برقرار است؛ پس این مثلث‌بندی یک سطح بسته می‌سازد.

مرحله 5: محاسبهٔ مشخصهٔ اویلر

χ = V - E + F

χ = 6 - 15 + 10

χ = 1

نتیجه

پس مشخصهٔ اویلر صفحهٔ تصویری حقیقی برابر است با:

χ = 1

```