ریاضیات

مثلث‌بندی کامل جنبره با کدگذاری رأس‌ها، یال‌ها و مثلث‌ها

برای ساختن یک مثلث‌بندی کامل جنبره، یک مربع یا مستطیل را در نظر می‌گیریم، آن را به شبکه

3×3 تقسیم می‌کنیم، در هر خانه یک قطر می‌کشیم، و سپس ضلع‌های مقابل را به هم شناسایی می‌کنیم.

مرحله 1: نام‌گذاری رأس‌ها

رأس‌های شبکه را به صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم:

پس مجموعهٔ رأس‌ها برابر است با:

V = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

مرحله 2: شناسایی ضلع‌های مقابل

برای ساختن جنبره:

ضلع بالا با ضلع پایین شناسایی می‌شود و ضلع چپ با ضلع راست نیز شناسایی می‌شود.

یعنی حرکت از یک طرف شکل، ما را از طرف مقابل وارد همان سطح می‌کند.

مرحله 3: رسم قطرها

در هر یک از 9 مربعِ شبکه، یک قطر رسم می‌کنیم.

قطرها را طوری انتخاب می‌کنیم که مثلث‌بندی منظم و سازگار به دست آید.

مرحله 4: فهرست کامل یال‌ها

یال‌ها را در سه دسته می‌نویسیم: افقی، عمودی و قطری.

الف) یال‌های افقی

12, 23, 13,

45, 56, 46,

78, 89, 79

ب) یال‌های عمودی

14, 47, 17,

25, 58, 28,

36, 69, 39

ج) یال‌های قطری

15, 26, 34,

48, 59, 67,

27, 38, 19

پس فهرست کامل یال‌ها چنین است:

E = {12,23,13,45,56,46,78,89,79,14,47,17,25,58,28,36,69,39,15,26,34,48,59,67,27,38,19}

بنابراین:

|E| = 27

مرحله 5: فهرست کامل مثلث‌ها

اکنون هر مربعِ شبکه با یک قطر به دو مثلث تبدیل می‌شود.

در نتیجه 9 مربع، مجموعاً 18 مثلث می‌دهند.

فهرست کامل مثلث‌ها به صورت زیر است:

پس مجموعهٔ وجه‌ها برابر است با:

F = {125,145,236,256,134,346,458,478,569,589,467,679,127,278,238,389,139,179}

بنابراین:

|F| = 18

مرحله 6: فهرست کامل رأس‌ها، یال‌ها و مثلث‌ها

رأس‌ها

V = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

یال‌ها

E = {12,23,13,45,56,46,78,89,79,14,47,17,25,58,28,36,69,39,15,26,34,48,59,67,27,38,19}

مثلث‌ها

F = {125,145,236,256,134,346,458,478,569,589,467,679,127,278,238,389,139,179}

مرحله 7: شمارش اجزا

مرحله 8: محاسبهٔ مشخصهٔ اویلر

χ = V - E + F

χ = 9 - 27 + 18

χ = 0

نتیجه

چون مقدار مشخصهٔ اویلر برابر 0 است، این مثلث‌بندی مربوط به جنبره می‌باشد.

توضیح کدها

مثلاً:

125 یعنی مثلثی با رأس‌های 1 و 2 و 5.

67 یعنی یالی که دو رأس 6 و 7 را به هم وصل می‌کند.

پس در این روش، هر یال با یک کد دو رقمی و هر مثلث با یک کد سه رقمی مشخص می‌شود.